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Hi Leute!
Ich bin momentan am Verzweifeln. Muß am Freitag ein Referat über Mengen von Nicht-Stetigkeitspunkten halten.
Dazu habe ich 2 Beispiele bekommen, die ich beweisen sollte, habe aber keinen blassen Schimmer, wie:
"Eine dichte Menge von Stetigkeitspunkten und eine dichte Menge von Nicht-Stetigkeitspunkten. Keine dieser Nicht-Stetigkeitspunkte ist entfernbar"
Als Beispiel war dann gegeben:
[mm] f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \mbox{ rational} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ irrational} \end{cases}
[/mm]
Diese Funktion ist aber doch nirgendwo stetig.
Weiter ging es dann folgendermaßen:
[mm] \IQ [/mm] ist eine unendliche zählbare Menge {a1;a2;a3......}.
Es sei (Pn) eine Folge von positiven Zahlen mit
[mm] \summe_{n}Pn [/mm] diese sei konvergent mit dem Grenzwert p.
Mein Dozent sagte mir dann, ich solle eine Hilfsmenge setzen:
Mx := {m e [mm] \IN [/mm] : am<=x} und
f(x) := [mm] \summe_{m e Mx}pm [/mm] setzen
Dies sei deshalb sinnvoll, da Mx [mm] \subset \IN, [/mm] also
[mm] \summe_{mMx}pm<= \summe_{m e \IN}< \infty
[/mm]
Kann mir das mal jemand erklären? Das wäre so toll.
Dann behauptete er: f sei stetig in I und nicht stetig in [mm] \IQ
[/mm]
Das 2. sollte ich mit dem Cauchy Krit. für Reihen beweisen, habe nur keine ahnung wie.
Hat das überhaupt jemand verstanden?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:15 Do 19.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Richtig, die erste Funktion ist überall unstetig.
Zur zweiten Funktion:
Die Unstetigkeit in einem [mm] $a_n \in \IQ$ [/mm] würde ich folgendermaßen zeigen:
Wäre $f$ in [mm] $a_n$ [/mm] stetig, so müsste es für beliebige [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $\delta>0$ [/mm] geben, so dass für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $|x-a_n|<\delta$ [/mm] gilt:
$|f(x) - [mm] f(a_n)| [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Nun wähle ich: [mm] $\varepsilon:= \frac{p_n}{2}$, [/mm] und erhalte für alle [mm] $x
[mm] $f(a_n) [/mm] - f(x) [mm] \ge p_n =2\varepsilon [/mm] > [mm] \varepsilon$,
[/mm]
so dass es kein [mm] $\delta>0$ [/mm] mit der obigen Eigenschaft geben kann.
Viele Grüße
Julius
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oK, das leuchtet mir soweit auch ein;
Nun ist aber meine nächste Frage, warum ist diese Funktion denn nun stetig in I (irrational) ? Läßt sich das auch irgendwie beweisen?
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