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Forum "Mengenlehre" - Mengen, Teilmengen
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Mengen, Teilmengen: Tipp, Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:11 So 02.11.2014
Autor: Martin_Ph

Aufgabe
Es seien die beiden folgenden Mengen gegeben:
[mm] A=\{(r,s)\in\IR^{2}:||(r,s)||_{1}\le1\} [/mm]
[mm] B=\{(r,s)\in\IR^{2}:||(r,s)||_{2}\le1\} [/mm]
Dabei gilt [mm] ||(r,s)||_{1}=|r|+|s| [/mm] und [mm] ||(r,s)||_{2}=\wurzel{r^{2}+s^{2}} [/mm]

a) Zeigen Sie, dass [mm] A\subseteq [/mm] B
b) Was muss zusätzlich zu a) gezeigt werden, sodass A=B gilt
c) Überprüfen Sie, ob A=B

Komme bei der Aufgabe nicht wirklich voran
Hab das hier zu a)

a) z.Z.: [mm] A\subseteq [/mm] B [mm] \forall [/mm] x [mm] \in A\Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] B
(r,s) [mm] \in\IR^{2} [/mm] sei Element von A
[mm] \Rightarrow |r|+|s|\le1\Rightarrow 0\le|r|\le1\wedge0\le|s|\le1\Rightarrow 0\le r^{2}\le1\wedge0\le s^{2}\le1\Rightarrow r^{2}+s^{2}\le1\Rightarrow\wurzel{r^{2}+s^{2}}\le\wurzel{1}\Rightarrow\wurzel{r^{2}+s^{2}}\le1\Rightarrow(r,s)\in B\Rightarrow A\subseteq [/mm] B //bin mir aber nicht sicher ob das stimmt, auch wenn es meines Erachtens logisch ist

Bei b) und c) hab ich bisher leider noch nicht wirklich eine idee

        
Bezug
Mengen, Teilmengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:27 So 02.11.2014
Autor: andyv

Hallo

a) Aus $a,b [mm] \in [/mm] [0,1]$ folgt nicht $a+b [mm] \le [/mm] 1$
b) Die umgekehrte Inklusion
c) Zeige [mm] $(1/\sqrt 2,1/\sqrt [/mm] 2)$ liegt in B, aber nicht in A.

Liebe Grüße

Bezug
        
Bezug
Mengen, Teilmengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:02 Mo 03.11.2014
Autor: leduart

Hallo
zeichne doch mal die 2 Mengen, indem du die Ränder |x|+|y| =1 und [mm] x^2+y^2=1 [/mm] zeichnest, vielleicht fällt dir dann der Beweis leichter.
Gruß leduart

Bezug
        
Bezug
Mengen, Teilmengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:16 Mo 03.11.2014
Autor: fred97


> Es seien die beiden folgenden Mengen gegeben:
>  [mm]A=\{(r,s)\in\IR^{2}:||(r,s)||_{1}\le1\}[/mm]
>  [mm]B=\{(r,s)\in\IR^{2}:||(r,s)||_{2}\le1\}[/mm]
>  Dabei gilt [mm]||(r,s)||_{1}=|r|+|s|[/mm] und
> [mm]||(r,s)||_{2}=\wurzel{r^{2}+s^{2}}[/mm]
>  
> a) Zeigen Sie, dass [mm]A\subseteq[/mm] B
>  b) Was muss zusätzlich zu a) gezeigt werden, sodass A=B
> gilt
>  c) Überprüfen Sie, ob A=B
>  Komme bei der Aufgabe nicht wirklich voran
>  Hab das hier zu a)
>  
> a) z.Z.: [mm]A\subseteq[/mm] B [mm]\forall[/mm] x [mm]\in A\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] B
>  (r,s) [mm]\in\IR^{2}[/mm] sei Element von A
>  [mm]\Rightarrow |r|+|s|\le1\Rightarrow 0\le|r|\le1\wedge0\le|s|\le1\Rightarrow 0\le r^{2}\le1\wedge0\le s^{2}\le1\Rightarrow r^{2}+s^{2}\le1\Rightarrow\wurzel{r^{2}+s^{2}}\le\wurzel{1}\Rightarrow\wurzel{r^{2}+s^{2}}\le1\Rightarrow(r,s)\in B\Rightarrow A\subseteq[/mm]
> B //bin mir aber nicht sicher ob da0s stimmt, auch wenn es
> meines Erachtens logisch ist

Ist es nicht, denn [mm] r^2+s^2 \le (|s|+|r|)^2 [/mm]


FRED


>  
> Bei b) und c) hab ich bisher leider noch nicht wirklich
> eine idee


Bezug
                
Bezug
Mengen, Teilmengen: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:02 Mo 03.11.2014
Autor: Martin_Ph

Aufgabe
Hinweis: Überlegen sie sich die Gültigkeit für [mm] (|r|+|s|)^{2}\ge |r|^{2}+|s|^{2} [/mm]

Sry hatte den Hinweis vergessen in die Angabe zu schreiben

[mm] (|r|+|s|)^{2}\ge |r|^{2}+|s|^{2}\gdw r^{2}+2|rs|+s^{2}\ge r^{2}+ s^{2}\gdw 2|rs|\ge0 [/mm]

Dies ist wahr [mm] \forall [/mm] (r,s) [mm] \in\IR [/mm]

Nur was bringt mir das dann?
Anhand der Zeichung der 2 Mengen sehe ich dass A eine Teilmenge von B ist
Ist mein Ansatz denn total falsch?



Bezug
                        
Bezug
Mengen, Teilmengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:38 Mo 03.11.2014
Autor: fred97


> Hinweis: Überlegen sie sich die Gültigkeit für
> [mm](|r|+|s|)^{2}\ge |r|^{2}+|s|^{2}[/mm]
>  Sry hatte den Hinweis
> vergessen in die Angabe zu schreiben
>  
> [mm](|r|+|s|)^{2}\ge |r|^{2}+|s|^{2}\gdw r^{2}+2|rs|+s^{2}\ge r^{2}+ s^{2}\gdw 2|rs|\ge0[/mm]
>
> Dies ist wahr [mm]\forall[/mm] (r,s) [mm]\in\IR[/mm]
>  
> Nur was bringt mir das dann?


Hä ?  Das bringt Dir sofort die Inklusion $ [mm] A\subseteq [/mm]  B $


>  Anhand der Zeichung der 2 Mengen sehe ich dass A eine
> Teilmenge von B ist
>  Ist mein Ansatz denn total falsch?

Ja, Deinen Fehler hat Dir andyv schon mitgeteilt.

FRED

>  
>  


Bezug
                                
Bezug
Mengen, Teilmengen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:23 Mo 03.11.2014
Autor: Martin_Ph

Aufgabe
siehe vorherige

Aber sagt das nicht aus, dass [mm] A\ge [/mm] B ist? Was ja aber laut Graphen nicht so ist. und dann ist A doch nicht Teilmenge von B

Oder verstehe ich das falsch?

Bezug
                                        
Bezug
Mengen, Teilmengen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:26 Mo 03.11.2014
Autor: fred97


> siehe vorherige
>  Aber sagt das nicht aus, dass [mm]A\ge[/mm] B ist? Was ja aber laut
> Graphen nicht so ist. und dann ist A doch nicht Teilmenge
> von B
>  
> Oder verstehe ich das falsch?

ja.

Sei (r,s) [mm] \in [/mm] A. Dann ist |r|+|s| [mm] \le [/mm] 1. Wegen

      [mm] r^2+s^2 \le (|r|+|s|)^2, [/mm]

folgt: [mm] r^2+s^2 \le [/mm] 1, also (r,s) [mm] \in [/mm] B.

FRED


Bezug
                                                
Bezug
Mengen, Teilmengen: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:48 Mo 03.11.2014
Autor: Martin_Ph

Ah stimmt wenn [mm] (|r|+|s|)^{2}\le1\Rightarrow r^{2}+s^{2}\le1 [/mm]

Danke für die Hilfe!!!

Bezug
                        
Bezug
Mengen, Teilmengen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:15 Mo 03.11.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Hinweis: Überlegen sie sich die Gültigkeit für
> [mm](|r|+|s|)^{2}\ge |r|^{2}+|s|^{2}[/mm]
>  Sry hatte den Hinweis
> vergessen in die Angabe zu schreiben
>  
> [mm](|r|+|s|)^{2}\ge |r|^{2}+|s|^{2}\gdw r^{2}+2|rs|+s^{2}\ge r^{2}+ s^{2}\gdw 2|rs|\ge0[/mm]
>
> Dies ist wahr [mm]\forall[/mm] (r,s) [mm]\in\IR[/mm]

das steht so hoffentlich nicht da, denn es ist $(r,s) [mm] \in \IR^2$! [/mm]

Gruß,
  Marcel

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