Mengen im metrischen Raum < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei E=[0,1) [mm] \cup [/mm] [2,3] [mm] \cup [/mm] {5}, [mm] d(x,y)=\left| x-y \right|
[/mm]
Man untersuche, ob die Mengen [mm] M_1=[0,1) [/mm] und [mm] M_2={5} [/mm] im metrischen Raum (E,d) offen bzw. abgeschlossen sind und bestimme alle inneren Punkte, Häufungspunkte und Berührungspunkte von [mm] M_1 [/mm] und [mm] M_2 [/mm] . |
Halle liebe Mathegemeinde,
obige Frage wurde uns gestellt. Leider sehe ich im Moment nicht ganz durch.
Def.: M heißt offen, wenn jeder Punkt [mm] x_0 \in [/mm] M innerer Punkt von M ist.
Def.: [mm] x_0 \in [/mm] M heißt innerer Punkt von M, gdw. ein r>0 ex., s.d. [mm] U_r (x_0) \subseteq [/mm] M ist.
Anschaulich: Die Kugel um den Punkt [mm] x_0 [/mm] muss wieder in M liegen.
Wenn ich nun [mm] x_0=0 [/mm] setze und ich bilde eine Kugel darum, dann liege ich anschaulich auch links von der Null. Jetzt habe ich aber die Metrik, die ja immer positiv ist (außer für x=y) und somit liege ich ja wieder in M. Also findet man z.B. für [mm] x_0 [/mm] = 0 auf jedenfall solch ein r>0.
Meine Intuition sagt mir, dass alle Punkte aus Menge [mm] M_1 [/mm] innere Punkte sind. Doch ich glaube damit liege ich falsch?!
Ich bitte lediglich um eine Stellungnahme, ich will die Aufgabe möglichst selbst erarbeiten. Doch die Vorstellung von Metriken stellt mich auf eine harte Probe.
Wie kann ich also zeigen, dass vor allem auch alle Punkte von [mm] M_1, [/mm] bzw. [mm] M_2 [/mm] innere Punkte sind? Ich kann ja schlecht wahllos Punkte einfach untersuchen.
Danke für eure Hilfestellungen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Warum auch? matheraum.de ist das Beste!
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Hallo,
> Sei E=[0,1) [mm]\cup[/mm] [2,3] [mm]\cup[/mm] {5}, [mm]d(x,y)=\left| x-y \right|[/mm]
>
> Man untersuche, ob die Mengen [mm]M_1=[0,1)[/mm] und [mm]M_2={5}[/mm] im
> metrischen Raum (E,d) offen bzw. abgeschlossen sind und
> bestimme alle inneren Punkte, Häufungspunkte und
> Berührungspunkte von [mm]M_1[/mm] und [mm]M_2[/mm] .
> Def.: M heißt offen, wenn jeder Punkt [mm]x_0 \in[/mm] M innerer
> Punkt von M ist.
> Def.: [mm]x_0 \in[/mm] M heißt innerer Punkt von M, gdw. ein r>0
> ex., s.d. [mm]U_r (x_0) \subseteq[/mm] M ist.
> Anschaulich: Die Kugel um den Punkt [mm]x_0[/mm] muss wieder in M
> liegen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Hier ist noch die Definition von [mm] $U_r(x_0)$ [/mm] wichtig:
[mm] $U_r(x_0) [/mm] = [mm] \{y\in E: d(x_0, y) < r\}$.
[/mm]
Das heißt: Punkte, die nicht im metrischen Raum $E$ liegen, liegen auch nicht in der Kugel.
> Wenn ich nun [mm]x_0=0[/mm] setze und ich bilde eine Kugel darum,
> dann liege ich anschaulich auch links von der Null.
Genau. Aber:
Der metrische Raum E kennt keine Punkte links der Null. Eine Kugel [mm] $U_{r}(x_0)$ [/mm] liegt also immer noch vollständig in [mm] $M_1$ [/mm] !
(*)
> Jetzt
> habe ich aber die Metrik, die ja immer positiv ist (außer
> für x=y) und somit liege ich ja wieder in M.
Das ist falsch. Ich verstehe nicht den Zusammenhang zwischen "Metrik ist positiv" und "liegt wieder in M$. Das hat nichts miteinander zu tun.
> Also findet
> man z.B. für [mm]x_0[/mm] = 0 auf jedenfall solch ein r>0.
Ja, aber aus einem anderen Grund (s. (*)).
> Meine Intuition sagt mir, dass alle Punkte aus Menge [mm]M_1[/mm]
> innere Punkte sind. Doch ich glaube damit liege ich
> falsch?!
Nein, deine Intuition ist richtig.
> Wie kann ich also zeigen, dass vor allem auch alle Punkte
> von [mm]M_1,[/mm] bzw. [mm]M_2[/mm] innere Punkte sind? Ich kann ja schlecht
> wahllos Punkte einfach untersuchen.
Genau, deswegen musst du es allgemein machen.
Sei [mm] $x_0\in M_1$. [/mm] Wähle z.B. $r = [mm] \frac{1}{2}$. [/mm] Nun überprüfe, ob stets gilt:
[mm] $U_{r}(x_0) \subset M_1$.
[/mm]
Schreibe dir dazu aus, wass [mm] $U_r(x_0)$ [/mm] ist (Intervall (...,...)).
Grüße,
Stefan
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Danke für die Hilfestellung.
> > Jetzt
> > habe ich aber die Metrik, die ja immer positiv ist (außer
> > für x=y) und somit liege ich ja wieder in M.
>
> Das ist falsch. Ich verstehe nicht den Zusammenhang
> zwischen "Metrik ist positiv" und "liegt wieder in M$. Das
> hat nichts miteinander zu tun.
Ich dachte das, weil ja, die Metrik in der Definition der Kugel vorkommt. Und diese Metrik ist ja immer positiv. Aber ich glaube ich habe meinen Fehler gefunden. Schließlich sucht man ja alle y [mm] \in [/mm] E.
> Genau, deswegen musst du es allgemein machen.
> Sei [mm]x_0\in M_1[/mm]. Wähle z.B. [mm]r = \frac{1}{2}[/mm]. Nun
> überprüfe, ob stets gilt:
>
> [mm]U_{r}(x_0) \subset M_1[/mm].
>
> Schreibe dir dazu aus, wass [mm]U_r(x_0)[/mm] ist (Intervall
> (...,...)).
Gut, dann mache ich das mal:
[mm] E=[0,1)\cup[2,3]\cup{5}
[/mm]
[mm] U_\bruch{1}{2}(x_0)=\{y\in E: d(x_0,y)
Da wir alles in E betrachten ist [mm] U_\bruch{1}{2}(x_0)\subseteq M_1 [/mm] ?
Man könnte sonst ja auch den Radius ein bisschen vergrößern. Wichtig ist ja, dass man ein (also mindestens ein) Radius findet, nicht wahr?
Folglich ist [mm] M_1 [/mm] eine offene Menge, weil ja jeder Punkt ein innerer ist.
Wenn ich mir nun [mm] M_2 [/mm] vornehme, habe ich ja nur einen konkreten Punkt, nämlich [mm] x_0=5. [/mm] Hier lege ich auch einen Radius von [mm] r=\bruch{1}{2} [/mm] vor und erhalte ein Intervall I=(4,5;5,5). Da es dieses Intervall auf E aber nicht gibt, "schränkt" man es ein und ich erhalte nur den Punkt x=5. Dieser ist in [mm] M_2 [/mm] enthalten. Also innerer Punkt, folglich [mm] M_2 [/mm] eine offene Menge. Richtige Schlussfolgerung?
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Hallo,
> > Genau, deswegen musst du es allgemein machen.
> > Sei [mm]x_0\in M_1[/mm]. Wähle z.B. [mm]r = \frac{1}{2}[/mm]. Nun
> > überprüfe, ob stets gilt:
> >
> > [mm]U_{r}(x_0) \subset M_1[/mm].
> >
> > Schreibe dir dazu aus, wass [mm]U_r(x_0)[/mm] ist (Intervall
> > (...,...)).
>
> Gut, dann mache ich das mal:
> [mm]E=[0,1)\cup[2,3]\cup{5}[/mm]
> [mm]U_\bruch{1}{2}(x_0)=\{y\in E: d(x_0,y)
>
> Da wir alles in E betrachten ist
> [mm]U_\bruch{1}{2}(x_0)\subseteq M_1[/mm] ?
Ich denke, du meinst das richtige.
Du musst aber
[mm] $U_{\frac{1}{2}}(x_0) [/mm] = [mm] (x_0 [/mm] - 0.5, [mm] x_0 [/mm] + 0.5) [mm] \cap [/mm] E$.
schreiben.
Und weil in dem Bereich [mm] $x_0 \in [/mm] [0,1) = [mm] M_1$ [/mm] nur der Teil $[0,1)$ von E für den Schnitt oben interessant ist (es gilt [mm] $(x_0 [/mm] - 0.5, [mm] x_0 [/mm] + 0.5) [mm] \cap \Big( [2,3]\cup \{5\} \Big) [/mm] = [mm] \emptyset$ [/mm] ), kannst du schreiben:
[mm] $U_{\frac{1}{2}}(x_0) [/mm] = [mm] (x_0 [/mm] - 0.5, [mm] x_0 [/mm] + 0.5) [mm] \cap [/mm] [0,1)$.
Damit ist auch das [mm] $\subset M_1$ [/mm] klar.
> Man könnte sonst ja auch den Radius ein bisschen
> vergrößern. Wichtig ist ja, dass man ein (also mindestens
> ein) Radius findet, nicht wahr?
Ja.
> Folglich ist [mm]M_1[/mm] eine offene Menge, weil ja jeder Punkt ein
> innerer ist.
Ja.
> Wenn ich mir nun [mm]M_2[/mm] vornehme, habe ich ja nur einen
> konkreten Punkt, nämlich [mm]x_0=5.[/mm] Hier lege ich auch einen
> Radius von [mm]r=\bruch{1}{2}[/mm] vor und erhalte ein Intervall
> I=(4,5;5,5). Da es dieses Intervall auf E aber nicht gibt,
> "schränkt" man es ein und ich erhalte nur den Punkt x=5.
Auch hier sollte man das mathematischer aufschreiben. "Weil es das nicht gibt, schränkt man es ein" ist falsch.
Es ist
[mm] $U_{\frac{1}{2}}(5) [/mm] = (4.5, 5.5) [mm] \cap [/mm] E$
und weil $(4.5, 5.5) [mm] \cap \Big([0,1) \cup [2,3]\Big) [/mm] = [mm] \emptyset$ [/mm] ist, gilt sogar:
[mm] $U_{\frac{1}{2}}(5) [/mm] = (4.5, 5.5) [mm] \cap \{5\} [/mm] = [mm] \{5\} \subset M_2$.
[/mm]
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> Dieser ist in [mm]M_2[/mm] enthalten. Also innerer Punkt, folglich
> [mm]M_2[/mm] eine offene Menge. Richtige Schlussfolgerung?
Ja.
Grüße,
Stefan
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Ok, danke für die Hilfe.
Ich habe noch Probleme mit der richtigen Notation von meinen Gedanken.
Den Sinn des Durchschnittes musste ich erst einmal versuchen nachzuvollziehen und auch dann den Sinn der leeren Menge.
Allerdings: $ (4.5, 5.5) [mm] \cap [/mm] [0,1) [mm] \cup [/mm] [2,3] = [mm] \emptyset [/mm] $ Wieso ist das leer? Leere Menge vereinigt mit einer beliebigen Menge A ist doch A
Also: [mm] \emptyset \cup [/mm] A = A
Wegen den Berührungspunkten und Häufungspunkten.
Def.: [mm] x_0 [/mm] heißt Berührungspunkt [Häufungspunkt] von M, wenn für jedes [mm] \varepsilon [/mm] >0 die Menge [mm] K_\varepsilon(x_0) [/mm] mindestens einen [von [mm] x_0 [/mm] verschiedenen] Punkt von M enthält
Die Menge [mm] K_\varepsilon(x_0) [/mm] ist dabei die abgeschlossene Kugel.
Also um es lax auszudrücken: Alle Punkte von [mm] M_1 [/mm] und [mm] M_2 [/mm] sind Berührungspunkte und die Punkte von [mm] M_1 [/mm] sind zusätzlich Häufungspunkte. Warum? Weil die Kugel um die Punkte, wo der Radius [mm] \varepsilon=r>0 [/mm] ist nun einmal ein Intervall angibt, also sind auch von [mm] x_0 [/mm] verschiedene Punkte zu finden. Aber bei [mm] M_2 [/mm] ist das ja nicht so. Vereinigung ergibt {5} und das ist ja [mm] x_0=M_2
[/mm]
Berührungspunkt ist denke ich logisch, weil der Punkt den ich von der Menge betrachte ja selbst schon in M liegt.
Richtig? Wenn zumindest meine Vermutung richtig ist, dann versuche ich es mathematisch auszudrücken und würde dann die Frage als beantwortet sehen.
Danke für die Mühen.
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Hallo,
> Ich habe noch Probleme mit der richtigen Notation von
> meinen Gedanken.
> Den Sinn des Durchschnittes musste ich erst einmal
> versuchen nachzuvollziehen und auch dann den Sinn der
> leeren Menge.
> Allerdings: [mm](4.5, 5.5) \cap [0,1) \cup [2,3] = \emptyset[/mm]
> Wieso ist das leer? Leere Menge vereinigt mit einer
> beliebigen Menge A ist doch A
> Also: [mm]\emptyset \cup[/mm] A = A
Genau.
Ich hatte in meinem Post auch die Klammern vergessen...
$(4.5,5.5) [mm] \cap \Big( [/mm] [0,1) [mm] \cup [2,3]\Big) [/mm] = [mm] \emptyset$.
[/mm]
> Wegen den Berührungspunkten und Häufungspunkten.
> Def.: [mm]x_0[/mm] heißt Berührungspunkt [Häufungspunkt] von M,
> wenn für jedes [mm]\varepsilon[/mm] >0 die Menge [mm]K_\varepsilon(x_0)[/mm]
> mindestens einen [von [mm]x_0[/mm] verschiedenen] Punkt von M
> enthält
> Die Menge [mm]K_\varepsilon(x_0)[/mm] ist dabei die abgeschlossene
> Kugel.
Das ist ja egal, ob es eine offene oder abgeschlossene Kugel ist.
> Also um es lax auszudrücken: Alle Punkte von [mm]M_1[/mm] und [mm]M_2[/mm]
> sind Berührungspunkte und die Punkte von [mm]M_1[/mm] sind
> zusätzlich Häufungspunkte.
> Warum? Weil die Kugel um die
> Punkte, wo der Radius [mm]\varepsilon=r>0[/mm] ist nun einmal ein
> Intervall angibt, also sind auch von [mm]x_0[/mm] verschiedene
> Punkte zu finden. Aber bei [mm]M_2[/mm] ist das ja nicht so.
Genau.
> Vereinigung ergibt {5} und das ist ja [mm]x_0=M_2[/mm]
[mm] ($x_0 [/mm] = [mm] M_2$ [/mm] ist formal nicht korrekt.)
> Berührungspunkt ist denke ich logisch, weil der Punkt den
> ich von der Menge betrachte ja selbst schon in M liegt.
Ja.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:55 So 15.04.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Wunderbar, damit hat sich vieles aufgelöst, doch nur Übung macht den Meister.
Fragen bleiben, allerdings nur zu anderen Problemen.
Danke für die Hilfestellungen.
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