Mengen in der Analysis II < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
zunächst mal zu den Aufgaben:
Ich soll das Innere, Äußere und den Rand der Menge bestimmen, die aus allen Spaltenvektoren des [mm] \IR^{n} [/mm] besteht, wo die Komponenten rationale Zahlen sind. Kann es sein, dass gerade die Menge selbst der Rand ist? Also man hat ja wegen der Dichtheit von [mm] \IQ [/mm] in [mm] \IR [/mm] und umgekehrt eigentlich zu jedem Vektor immer ein Rechteck, dass sowohl in [mm] \IQ [/mm] als auch in [mm] \IR [/mm] ohne [mm] \IQ [/mm] liegt !?
Für welche Geraden t [mm] \mapsto [/mm] at (a [mm] \in \IR^{2}) [/mm] besitzt die Funktion f(at) ein Min. bzw. Max. bei t = 0.
Die Verständnisfrage bezieht sich auf kompakte Mengen. Heine-Borel sagt ja, dass Mengen genau dann kompakt sind, wenn sie abgeschlossen und beschränkt sind. Andere Def. für kompakt ist ja, dass eine solche Menge schon eine endliche Teilüberdeckung erhalten kann. Nimmt man als Beispiel im [mm] \IR^{2}) [/mm] mal den Einheitskreis mit seinem Rand. Der ist ja abgeschlossen und beschränkt, also kompakt. Kann dann endlich überdeckt werden, warum aber dann nicht der offene Kreis (also ohne den Rand). Der kann ja, da offen, nicht kompakt sein, aber liegt doch ganz im Kreis mit Rand, müsste also ebenfalls von der Überdeckung überdeckt sein.
Gruß
Marcel
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:15 So 22.05.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Hmm, wo studierst du ??? Ich nämlich in Stuttgart, du auch ?
Ich hab im Forum die gleichen beiden Fragen gestellt, die Aufgaben bekommen wir immer in einem freiwilligen Tutorium (Also Aufgaben auch freiwillig), aber ich finds schon "krass", dass das die gleichen Fragen sind... *grübel*
Schau mal in den aktuellen Artikel von mir ! Da hab ich auch noch ne Rückfrage drin, versteh nämlich die 1 auch net ganz...
https://matheraum.de/read?i=69438
Mit der Gerade ist leicht, steht da aber auch nochmal drin..
Faenôl
Gruß Seb.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:21 So 22.05.2005 | | Autor: | SOCMarcel |
Hallo,
> Hmm, wo studierst du ??? Ich nämlich in Stuttgart, du auch ?
>
> Ich hab im Forum die gleichen beiden Fragen gestellt, die
> Aufgaben bekommen wir immer in einem freiwilligen Tutorium
> (Also Aufgaben auch freiwillig), aber ich finds schon
> "krass", dass das die gleichen Fragen sind... *grübel*
Erst mal danke für den Hinweis. Ich studiere jedoch in Siegen.  Bei uns waren die Aufgaben auch auf dem obligatorischen Übungszettel.
Stimmte das denn in deiner zweiten Aufgabe mit dem Nullpunkt im [mm] \IR^{3}. [/mm] Mir fällt da auch nix anderes ein. Wegen der Gerade muss ich mir deinen Thread noch mal anschauen.
Gruß
Marcel
PS @all: Habe den Status auf unbeantwortet gesetzt wegen der Verständnisfrage.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Mo 23.05.2005 | | Autor: | Max |
Diskutiert das doch in dem Artikel von Faenol weiter - es ist denke ich mal sinnvoller dort die Verständnisfrage zu klären. Übrigens erkenne ich nicht, was die Verständnisfrage sein soll. Evtl. musst du das schärfer formulieren.
Gruß Max
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:38 Mo 23.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo
> Die Verständnisfrage bezieht sich auf kompakte Mengen.
> Heine-Borel sagt ja, dass Mengen genau dann kompakt sind,
> wenn sie abgeschlossen und beschränkt sind. Andere Def. für
> kompakt ist ja, dass eine solche Menge schon eine endliche
> Teilüberdeckung erhalten kann. Nimmt man als Beispiel im
> [mm]\IR^{2})[/mm] mal den Einheitskreis mit seinem Rand. Der ist ja
> abgeschlossen und beschränkt, also kompakt. Kann dann
> endlich überdeckt werden, warum aber dann nicht der offene
> Kreis (also ohne den Rand). Der kann ja, da offen, nicht
> kompakt sein, aber liegt doch ganz im Kreis mit Rand,
> müsste also ebenfalls von der Überdeckung überdeckt sein.
Naja, ich glaube du misverstehst da etwas. Die Aussage ist ja, wenn jede offene Überdeckung der Menge eine endliche Überdeckung enthält, dann ist die Menge kompakt. D.h. beim Einheitskreis ohne Rand musst du eine Überdeckung von offenen Menge finden, bei der man keine endliche Überdeckung findet. Hier man ein Vorschlag: Die offenen Mengen [mm] $G_x=\left\{ y\in M: \frac{||x||}{2}<||y||<\frac{3||x||}{2}\right\}$ [/mm] (Kreisringe), für alle [mm] $x\in [/mm] M$ bilden eine offene Überdeckung von $M$. Kein endliches Teilsystem kann $M$ überdecken, da aus [mm] $0<||x_1||<||x_2||<||x_3||<\cdots<||x_m||<1$ [/mm] folgt, dass zB Punkte [mm] $z\in [/mm] M$ mit [mm] $||z||=\frac{||x_1||}{3}$ [/mm] nicht zu [mm] $G_{x_1}\cap G_{x_2} \cap \cdots \cap G_{x_m}$ [/mm] gehört.
D.h. es ist nicht entscheident, ob es endliche Überdeckungen der Menge gibt, das wird häufig der Fall sein, sondern nur ob jede offene Überdeckung auch eine endliche Überdeckung enthält.
Gruß Max
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