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| Aufgabe | Gegeben sin die Mengen
M1= [mm] \{z \in \IC| |z+i|+|iz-1| \le 4\} [/mm] ..
in der komplexen Zahlenebene. Skizzieren Sie M1 |
Hallo Leute,
ich werde gerade verrückt. Mein Radius will einfach nicht stimmen -.- (habe die Musterlösung). Bin das so angegangen:
[mm] |a+bi+i|+|ai+bi^2-1| \le [/mm] 4
[mm] |a+i(b+1)|+|ai+(-b-1)|\le [/mm] 4
[mm] \wurzel{a^2+(b+1)^2}+\wurzel{a^2+(-b-1)^2}\le [/mm] 4 jetzt alles quadrieren
[mm] a^2+(b+1)^2+a^2+(-b-1)^2\le16
[/mm]
[mm] a^2+b^2+2b+1+a^2+b^2+2b+1\le16 [/mm] zusammen gefasst und durch 2 geteilt
[mm] a^2+(b+1)^2\le8 [/mm] Radius ist Wurzel 8. Das ist aber leider falsch -.- und ich weiss nicht wo der Fehler ist. Der Richtige Radius ist Wurzel(4)=2.
Danke! :)
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Hallo,
> Gegeben sin die Mengen
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> M1= [mm]\{z \in \IC| |z+i|+|iz-1| \le 4\}[/mm] ..
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> in der komplexen Zahlenebene. Skizzieren Sie M1
> Hallo Leute,
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> ich werde gerade verrückt. Mein Radius will einfach nicht
> stimmen -.- (habe die Musterlösung). Bin das so
> angegangen:
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> [mm]|a+bi+i|+|ai+bi^2-1| \le[/mm] 4
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> [mm]|a+i(b+1)|+|ai+(-b-1)|\le[/mm] 4
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> [mm]\wurzel{a^2+(b+1)^2}+\wurzel{a^2+(-b-1)^2}\le[/mm] 4 jetzt alles
> quadrieren
Warum ? Es ist $ [mm] (b+1)^2=(-1)^2(b+1)^2=(-b-1)^2 [/mm] $. Und deswegen $ [mm] \sqrt{a^2+(b+1)^2}+\sqrt{a^2+(-1-b)^2}=2\sqrt{a^2+(b+1)^2}\leq [/mm] 4 $ und daher $ [mm] \sqrt{a^2+(1+b)^2}\leq [/mm] 2 $
> [mm]a^2+(b+1)^2+a^2+(-b-1)^2\le16[/mm]
>
> [mm]a^2+b^2+2b+1+a^2+b^2+2b+1\le16[/mm] zusammen gefasst und durch 2
> geteilt
>
> [mm]a^2+(b+1)^2\le8[/mm] Radius ist Wurzel 8. Das ist aber leider
> falsch -.- und ich weiss nicht wo der Fehler ist. Der
> Richtige Radius ist Wurzel(4)=2.
Du hast also erkannt, dass es sich um einen Kreis handelt ?
> Danke! :)
LG
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Vielen Dank!
Ja ich habe gewusst, dass es sich um einen Kreis handelt. Aber was war an meiner Rechnung falsch? Ich darf doch eine Ungleichung quadrieren, oder nicht? So gehe ich immer vor. Es ist ja meistens nicht so, dass man das zusammen fassen kann zu [mm] 2*\wurzel{a^2+(b+1)^2}. [/mm]
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Siehe dazu meine Antwort.
Valerie
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Hallo Ahnungsloser,
zusätzlich zu MontBlancs und Valeries Antworten hier noch ein Hinweis:
> Aber was war an meiner Rechnung falsch? Ich darf doch eine
> Ungleichung quadrieren, oder nicht?
Nein, das darfst Du nicht so einfach.
Nimm mal die Ungleichung -2<1. Sie ist ohne Zweifel wahr.
Was passiert aber, wenn Du sie quadrierst?
Das Quadrieren ist im allgemeinen keine Äquivalenzumformung. Wenn man es anwendet (manchmal sogar anwenden muss), um eine Aussage überhaupt weiter bearbeiten zu können, muss man so gut wie immer Fallunterscheidungen einführen. Und man sollte dann immer die Ergebnisse noch einmal durch Einsetzen überprüfen. Erstaunlich häufig sind nämlich so ermittelte Lösungen gar keine Lösung!
Im vorliegenden Fall darfst Du allerdings quadrieren, da beide Seiten der Ungleichung sicher [mm] \ge0 [/mm] sind. Allerdings behältst Du wegen des gemischten Glieds in der binomischen Formel immer noch einen Wurzelterm übrig. Bei Gleichungen wäre das nicht tragisch - man isoliert den Wurzelterm auf der einen Seite, indem man alles andere auf die andere Seite bringt und quadriert dann einfach nochmal. Bei Ungleichungen hat man dann aber wieder das oben genannte Problem, so auch hier!
> So gehe ich immer vor.
Das solltest Du Dir abgewöhnen, oder aber wirklich genaueste Fallunterscheidungen hinzunehmen!
> Es ist ja meistens nicht so, dass man das zusammen fassen
> kann zu [mm]2*\wurzel{a^2+(b+1)^2}.[/mm]
Stimmt natürlich.
Grüße
reverend
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Hi!
> Gegeben sin die Mengen
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> M1= [mm]\{z \in \IC| |z+i|+|iz-1| \le 4\}[/mm] ..
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> in der komplexen Zahlenebene. Skizzieren Sie M1
> Hallo Leute,
>
> ich werde gerade verrückt. Mein Radius will einfach nicht
> stimmen -.- (habe die Musterlösung). Bin das so
> angegangen:
>
> [mm]|a+bi+i|+|ai+bi^2-1| \le[/mm] 4
>
> [mm]|a+i(b+1)|+|ai+(-b-1)|\le[/mm] 4
>
> [mm]\wurzel{a^2+(b+1)^2}+\wurzel{a^2+(-b-1)^2}\le[/mm] 4 jetzt alles
> quadrieren
>
> [mm]a^2+(b+1)^2+a^2+(-b-1)^2\le16[/mm]
Als zusätzliche Bemerkung:
Die Aufgabe könntest du auch so lösen.
Allerdings machst du hier beim Quadrieren einen essentiellen Fehler, auf
den ich hier noch hinweisen möchte.
Wenn du die Ungleichung quadrierst, hast du auf der linken Seite
eine binomische Formel.
Es ist allgemein:
[mm](a+b)^2=a^2+2\cdot a\cdot b+b^2\not=a^2+b^2[/mm]
Valerie
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:01 Mi 29.08.2012 | | Autor: | MontBlanc |
Hallo Valerie,
das hatte ich ganz vergessen zu erwähnen.
Vielen Dank ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:15 So 05.05.2013 | | Autor: | Regina13 |
Wie kommt man auf binomische Formel, wenn [mm] a^2+b^2+1+\wurzel[2]{a^2+(b+1)^2}\wurzel[2]{a^2+(b-1)^2}<8
[/mm]
Die 1 kann ich von 8 abziehen?
dann wird auf der andere Seite 7
was mache ich mit den 2 Wurzeln?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:09 So 05.05.2013 | | Autor: | abakus |
> Wie kommt man auf binomische Formel, wenn
> [mm]a^2+b^2+1+\wurzel[2]{a^2+(b+1)^2}\wurzel[2]{a^2+(b-1)^2}<8[/mm]
> Die 1 kann ich von 8 abziehen?
> dann wird auf der andere Seite 7
> was mache ich mit den 2 Wurzeln?
Forme um zu [mm]\wurzel[2]{a^2+(b+1)^2}\wurzel[2]{a^2+(b-1)^2}<7-a^2-b^2[/mm].
Dann kannst du quadrieren.
Gruß Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:27 So 05.05.2013 | | Autor: | Regina13 |
Sehr hilfreich, Abakus, danke schön. Habe jetzt
[mm] 12a^2+12b^2<49 [/mm] das ist dann eine offene Kreislinie mit Mittelpunkt (-1,1)? oder (1,-1) ? und Radius 7
mfg Regina
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:32 So 05.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sehr hilfreich, Abakus, danke schön. Habe jetzt
> [mm]12a^2+12b^2<49[/mm]
Das habe ich nicht nachgerechnet !
> das ist dann eine offene Kreislinie mit
> Mittelpunkt (-1,1)? oder (1,-1) ? und Radius 7
Das ist doch Unfug !
[mm]12a^2+12b^2<49[/mm] [mm] \gdw a^2+b^2<\bruch{49}{12}
[/mm]
Das ist eine offene Kreisscheibe um (0,0) mit Radius [mm] \bruch{7}{\wurzel{12}}
[/mm]
FRED
> mfg Regina
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:35 So 05.05.2013 | | Autor: | Regina13 |
Kannst du mir bitte erklären, warum (0,0) ist?
Vielen Dank im Voraus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:39 So 05.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Kannst du mir bitte erklären, warum (0,0) ist?
> Vielen Dank im Voraus
Hat Marcel Dir das nicht hier
https://matheraum.de/read?i=964670
erklärt ?
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:48 So 05.05.2013 | | Autor: | Regina13 |
dann wäre es x: [mm] (a-0)^2 [/mm] und y: [mm] (b-0)^2 [/mm] ??
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