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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:49 Mo 31.10.2005 | | Autor: | taschi |
Kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen? Bin im 1. Semester und am verzweifeln.
Also:
Seien X,Y zwei Mengen und $f$ : X [mm] \rightarrow [/mm] Y eine Abbildung.
(a) Sei A [mm] \subset [/mm] X und B [mm] \subset [/mm] Y. Zeigen Sie, dass A $ [mm] \subset f^{-1} [/mm] $ ($f$(A)) und $f$ [mm] ($f^{-1}$(B)) \subset [/mm] B.
(b) Welche Eigenschaft muss man für $f$ fordern, damit sogar A = [mm] $f^{-1}$ [/mm] ($f$ (A)) für alle Teilmengen A [mm] \subset [/mm] X gilt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> ....Bin im 1.
> Semester und am verzweifeln.
Das ist fast nicht erwähnenswert, weil nichts besonderes: im 1.Semester ist MAN in der Regel am Verzweifeln. Das gibt sich...
> Also:
> Seien X,Y zwei Mengen und [mm]f[/mm] : X [mm]\rightarrow[/mm] Y eine
> Abbildung.
> (a) Sei A [mm]\subset[/mm] X und B [mm]\subset[/mm] Y. Zeigen Sie, dass A
> [mm]\subset f^{-1}[/mm] ([mm]f[/mm](A)) und [mm]f[/mm] ([mm]f^{-1}[/mm](B)) [mm]\subset[/mm] B.
Schauen wir uns mal den Teil a) an.
Ich habe es in den letzten Tagen oft geschrieben, und auch hier paßt es wieder gut. Mal Dir ein Bildchen. Auf der einen Seite die Menge X mit ein paar Pünktchen, auf der anderen Seite die Menge Y mit ein paar mehr Punkten. Dann Pfeile von X nach Y. Bei manchen Punkten starten mehrere Pfeile, bei manchen nur einer. Manche Punkte in Y werden getroffen, manche nicht. Ich hoffe, Du verstehst, was ich meine...
Nun such Dir mal eine Teilmenge M von X aus, und schau die Bildmenge f(M) an. Diese Bildmenge f(M) besteht aus allen Punkten, die von Pfeilen aus M getroffen werden.
Jetzt schau Dir das Urbild von f(M) an. Was ist das denn? Das sind alle Punkte aus X, von denen ein Pfeil in der Menge f(M) landet.
Siehst Du, daß diese Menge größer sein kann, als die Menge M?
Ist Dir klar, daß aber auf jeden Fall jedes Element von M im Urbild von f(M) liegt?
Wenn Dir das am Bild klargeworden ist und Du "begriffen" hast, worauf es ankommt, kannst Du mit dem Beweisen beginnen. Das ist dann gar nicht mehr so schwer.
Für A [mm] \subset f^{-1}(f(A)) [/mm] ist ja zu zeigen, daß jedes Element von A auch in {-1}(f(A)) liegt.
Daher beginne ich mit
Sei A [mm] \subseteq [/mm] X, und sei
a [mm] \in [/mm] A
==> f(a) [mm] \in [/mm] f(A)={y [mm] \in [/mm] Y| es gibt ein x [mm] \in [/mm] A mit f(x)=y}
==> a [mm] \in [/mm] { x [mm] \in [/mm] X| es gibt ein y [mm] \in [/mm] f(A) mit [mm] f(x)=y}=f^{-1}(f(A))
[/mm]
Also ist A [mm] \subseteq f^{-1}(f(A))
[/mm]
Wenn Du das verstanden hast, wirst Du das mit B alleine hinkriegen.
> (b) Welche Eigenschaft muss man für [mm]f[/mm] fordern, damit sogar
> A = [mm]f^{-1}[/mm] ([mm]f[/mm] (A)) für alle Teilmengen A [mm]\subset[/mm] X gilt?
Du hast ja inzwischen das Bild gemalt. Woran liegt es denn, daß i.a. die Urbildmenge größer ist als die "Startmenge"?
Und die Funktionen, bei denen man dieses Problem nicht hat, nennt man ...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:43 Di 01.11.2005 | | Autor: | AgentLie |
So einfach geht wirklich der ganze Beweis dafür? Ich hab dieselbe Aufgabe auf meinem Übungszettel stehen. Die Verknüpfung der beiden Funktionsvorschriften, wie sie in allen Lehrbüchern stehen, von f(A) und [mm] f^{-1}(B) [/mm] war eigentlich auch mein erster Gedanke. Und das scheinst du ja mehr oder weniger zu machen, wenn ich das richtig verstanden habe. Aber irgendwie kam mir das "zu kurs", "zu einfach" vor. Jetzt habe ich das ganze in Textform verfasst. Glücklich bin ich mit der Lösung aber garnicht, weil sie mir zu wenig mathematisch vorkommt.
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> So einfach geht wirklich der ganze Beweis dafür?
Ja.
Und die anderen beiden Teile sind auch nichtgravierend länger.
Ich hab
> dieselbe Aufgabe auf meinem Übungszettel stehen. Die
> Verknüpfung der beiden Funktionsvorschriften, wie sie in
> allen Lehrbüchern stehen, von f(A) und [mm]f^{-1}(B)[/mm] war
> eigentlich auch mein erster Gedanke. Und das scheinst du ja
> mehr oder weniger zu machen, wenn ich das richtig
> verstanden habe.
Ich wende die Definitionen von "Bildmenge" und Urbildmenge aun auf die Mengen A und f(A).
>Aber irgendwie kam mir das "zu kurz",
Du brauchst Deine Lösungen nicht künstlich aufzublasen.
Kurz ist absolutin Ordnung und wünschenswert - sofern es schlüssig ist.
Kurz, weil wichtige Überlegungen fehlen, Schritte nicht begründet werden, wäre allerdings völlig falsch.
Nur Lyrik abzuliefern, ist sicher nicht so geschickt. Zumal es ja auch darum geht, die Fachsprache zu lernen.
Aber: einen formalen Beweis mit ein paar Worten zu ergänzen, ist überhaupt nicht verkehrt. Erstens muß man ja sowieso alles, was man tut, begründen.
Dann hat es noch einen anderen Vorteil: manchmal macht man etwas falsch. Und wenn die Korrektoren dann erahnen können, WAS man sich dabei gedacht hat, bekommt man leichter Hinweise darauf, was man falsch verstanden hat.
"zu
> einfach" vor.
Fast alles, was man richtig gut verstanden hat, ist einfach.
Jetzt habe ich das ganze in Textform
> verfasst. Glücklich bin ich mit der Lösung aber garnicht,
> weil sie mir zu wenig mathematisch vorkommt.
Versuch doch mal eine Mischform. Und dann gibst Du ab, was Dir besser gefällt.
Daß allerallerwichtigste ist, daß Du den Sachverhalt verstehst, und daß scheint der Fall zu sein.
Gruß v. Angela
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