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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:11 Mi 24.10.2007 | | Autor: | borych |
| Aufgabe | | Es seien A und B nicht leere Mengen. Die Menge der Abbildungen f: A -> B bezeichnen wir mit Abb(A,B) oder auch kurz mit [mm] B^A. [/mm] Mit [mm] \beta(A) [/mm] bezeichnen wir die Potenzmenge von A, das ist die Menge aller Teilmengen von A (inklusive 0 und A selbst). Bestimmen Sie die Anzahl der Elemente in [mm] B^A [/mm] und [mm] \beta(A), [/mm] falls A und B endliche Mengen sind, und begründen Sie kurz ihre Anzahl. |
Hallo,
ich bräuchte bei dieser Aufgabe etwas Hilfestellung. Was ich aus der Aufgabe herauslesen konnte ist eben, dass die Menge A und die Menge B eben die Form A(a1,a2,...an) und B(b1,b2,...bn) haben müssen. Leider fehlt mir aber jetzt der Ansatz wie ich nun beginnen soll. Ist wahrscheinlich nicht schwer, aber ich komm nicht weiter.
Ich danke für die Hilfe!
Viele Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es seien A und B nicht leere Mengen. Die Menge der
> Abbildungen f: A -> B bezeichnen wir mit Abb(A,B) oder auch
> kurz mit [mm]B^A.[/mm] Mit [mm]\beta(A)[/mm] bezeichnen wir die Potenzmenge
> von A, das ist die Menge aller Teilmengen von A (inklusive
> 0 und A selbst). Bestimmen Sie die Anzahl der Elemente in
> [mm]B^A[/mm] und [mm]\beta(A),[/mm] falls A und B endliche Mengen sind, und
> begründen Sie kurz ihre Anzahl.
> Hallo,
>
> ich bräuchte bei dieser Aufgabe etwas Hilfestellung. Was
> ich aus der Aufgabe herauslesen konnte ist eben, dass die
> Menge A und die Menge B eben die Form A(a1,a2,...an) und
> B(b1,b2,...bn) haben müssen. Leider fehlt mir aber jetzt
> der Ansatz wie ich nun beginnen soll. Ist wahrscheinlich
> nicht schwer, aber ich komm nicht weiter.
>
Vielleicht würde es Dir helfen, die Aufgabe im Kontext der "Kombinatorik" anzuschauen - statt reiner Mengenlehre?
Überlege einfach, auf wieviele verschiedene Arten Du ein Element [mm] $f:A\rightarrow [/mm] B$ von [mm] $B^A$ [/mm] schrittweise "konstruieren" kannst: jedem der $|A|$ Elemente von $A$ kannst Du, bei einer solchen Konstruktion von [mm] $f:A\rightarrow [/mm] B$, auf $|B|$ verschiedene Arten ein Element von $B$ zuordnen. Da diese Wahlmöglichkeiten unabhängig voneinander sind, multiplizieren sich diese Möglichkeiten: ergibt insgesamt [mm] $|B|^{|A|}$ [/mm] Möglichkeiten. D.h. es ist [mm] $|B^A|=|B|^{|A|}$.
[/mm]
Analog kannst Du überlegen, auf wieviele Arten Du ein beliebiges Element [mm] $X\in \beta(A)$ [/mm] zusammenstellen kannst. Du kannst bei jedem der $|A|$ Elemente von $A$ unabhängig von den anderen entscheiden, dieses Element zu $X$ hinzuzunehmen - oder nicht (zwei Möglichkeiten). Ergibt [mm] $|\beta(A)|=2^{|A|}$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:01 Mi 24.10.2007 | | Autor: | borych |
Danke für die schnelle antwort
du hast mir das nun schon um einiges klarer gemacht, ich werde mir dies nun solang durchlesen bis ich es richtig verstehe.
viele grüße
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