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Mengenabbildungen (Beweis): Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:51 Do 17.11.2011
Autor: Pauli85

Aufgabe
Sei f: X -> Y eine Abbildung und U,V [mm] \subseteq [/mm] X bzw. C,D [mm] \subseteq [/mm] Y Mengen. Zeigen Sie folgende Aussagen:
1. f(U [mm] \cap [/mm] V) [mm] \subseteq [/mm] f(U) [mm] \cap [/mm] f(V)
2. f(U \ V) [mm] \supseteq [/mm] f(U) \ f(V)




Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Guten Abend,
ich sitze grade an dieser Aufgabe. Mein Problem ist, dass ich nicht genau weiß, wie ich beim beweisen mit der Inklusion umgehen soll. Bis jetzt hatte ich bei dieser Art von Beweisen immer die Mengengleichheit "=".
Kann mir da jemand einen Tipp geben, wie ich da am besten vorgehen kann?

Grüße

        
Bezug
Mengenabbildungen (Beweis): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:30 Do 17.11.2011
Autor: skoopa

Tach auch!

> Sei f: X -> Y eine Abbildung und U,V [mm]\subseteq[/mm] X bzw. C,D
> [mm]\subseteq[/mm] Y Mengen. Zeigen Sie folgende Aussagen:
>  1. f(U [mm]\cap[/mm] V) [mm]\subseteq[/mm] f(U) [mm]\cap[/mm] f(V)
>  2. f(U \ V) [mm]\supseteq[/mm] f(U) \ f(V)
>  
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Guten Abend,
>  ich sitze grade an dieser Aufgabe. Mein Problem ist, dass
> ich nicht genau weiß, wie ich beim beweisen mit der
> Inklusion umgehen soll. Bis jetzt hatte ich bei dieser Art
> von Beweisen immer die Mengengleichheit "=".
>  Kann mir da jemand einen Tipp geben, wie ich da am besten
> vorgehen kann?

Also am besten ist es glaube ich, wenn man in so einem Fall einfach ein beliebiges Element aus der Menge nimmt, die die Untermenge sein soll und mit Hilfe seiner Eigenschaften zeigt, dass dieses Element auch in der Obermenge enthalten ist.
Dann hast du gerade die Inklusion [mm] "\subseteq" [/mm] gezeigt.
Also in deiner konkreten Aufgabe 1. sagst du:
Sei $ [mm] x\in (U\cap [/mm] V)$, dann gilt f(x) ist enthalten in....
Und für die 2. dürfte das recht analog funktionieren.

>  
> Grüße

Beste Grüße!
skoopa

Bezug
                
Bezug
Mengenabbildungen (Beweis): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:27 Sa 19.11.2011
Autor: Pauli85

Hallo,
also ich habe mal einen Beweis durchgeführt, wie ich ihn gemacht hätte, wenn statt der Inklusion ein Gleichheitszeichen gestanden hätte:

Behauptung: f(U [mm] \cap [/mm] V) [mm] \subseteq [/mm] f(U) [mm] \cap [/mm] f(V)
Beweis: f(U [mm] \cap [/mm] V) = [mm] \{f(x)| x \in U \cap V\} [/mm] = [mm] \{f(x)| x \in U\} \cap \{f(x)| x \in V\} [/mm] = f(U) [mm] \cap [/mm] f(V)

Auf die Art haben wir eine ähnliche Aufgabe schon mal bewiesen, nur halt mit einem Gleichheitszeichen.


Verstehe ich dich richtig, ich soll nun ein Element aus der Untermenge nehmen und zeigen, dass dieses auch in der Obermenge liegt? Und dieses Element soll allgemein sein?

Grüße & Danke

Bezug
                        
Bezug
Mengenabbildungen (Beweis): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:59 Sa 19.11.2011
Autor: wieschoo

moin,
> Hallo,
>  also ich habe mal einen Beweis durchgeführt, wie ich ihn
> gemacht hätte, wenn statt der Inklusion ein
> Gleichheitszeichen gestanden hätte:
>  
> Behauptung: f(U [mm]\cap[/mm] V) [mm]\subseteq[/mm] f(U) [mm]\cap[/mm] f(V)
>  Beweis: f(U [mm]\cap[/mm] V) = [mm]\{f(x)| x \in U \cap V\}[/mm] = [mm]\{f(x)| x \in U\} \cap \{f(x)| x \in V\}[/mm]
> = f(U) [mm]\cap[/mm] f(V)

Die Idee ist schon richt das so auszudröseln, fang aber bitte mit
[mm]y\in f(U\cap V)\gdw \exists x(x\in U\cap V \wedge y=f(x))\gdw \ldots \Rightarrow \ldots \gdw y\in f(U)\wedge y\in f(V)\gdw y\in f(U)\cap f(v)[/mm]
an

>  
> Auf die Art haben wir eine ähnliche Aufgabe schon mal
> bewiesen, nur halt mit einem Gleichheitszeichen.
>  
>
> Verstehe ich dich richtig, ich soll nun ein Element aus der
> Untermenge nehmen und zeigen, dass dieses auch in der
> Obermenge liegt? Und dieses Element soll allgemein sein?

Nein du sollst allgemein ein Element y aus dem Bild [mm] $f(U\cap [/mm] V)$ nehmen und zeigen, dass dieses Element y wieder in [mm] $f(U)\cap [/mm] f(v)$ liegt.

>  
> Grüße & Danke


Bezug
                                
Bezug
Mengenabbildungen (Beweis): Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 21:44 Sa 19.11.2011
Autor: Pauli85

[mm](x\in U\cap V \wegde y=f(x))[/mm]

Verzeih dass ich noch mal nachhacken muss, aber was genau meinst du mit [mm] "(x\in U\cap [/mm] V [mm] \wegde [/mm] y=f(x))"? Hast du da vielleicht ein Symbol vergessen oder eine Klammer? Denn das y, das direkt hinter dem V steht verwirrt mich ein bisschen.

Schönen Abend

Bezug
                                        
Bezug
Mengenabbildungen (Beweis): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:22 Sa 19.11.2011
Autor: wieschoo

Ich habe es korrigiert, da hatte ich einen Fehler im LaTeX-Code sollte wedge und nicht wegde heißen.

Bezug
                                                
Bezug
Mengenabbildungen (Beweis): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:26 So 20.11.2011
Autor: Pauli85

Hmm ich weiß jetzt nicht ob ich das mit dem y=f(x) richtig verstanden habe, aber ich habe es mal so versucht:

Sei y [mm] \in [/mm] f(U [mm] \cap [/mm] V)
[mm] \gdw \exists [/mm] x: (x [mm] \in [/mm] U [mm] \cap [/mm] V) [mm] \wedge [/mm] (y=f(x))
[mm] \gdw [/mm] (x [mm] \in [/mm] U [mm] \wedge [/mm] y=f(x)) [mm] \cap [/mm] (x [mm] \in [/mm] V [mm] \wedge [/mm] y=f(x))
[mm] \gdw [/mm] (y=f(U)) [mm] \wedge [/mm] (y=f(V))
[mm] \gdw [/mm] (y [mm] \in [/mm] f(U)) [mm] \cap [/mm] (y [mm] \in [/mm] f(V))
[mm] \gdw [/mm] y [mm] \in [/mm] (f(U) [mm] \cap [/mm] f(V))

Sieht aber ehrlich gesagt nicht besonders gut aus^^

Bezug
                                                        
Bezug
Mengenabbildungen (Beweis): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:07 So 20.11.2011
Autor: wieschoo


> Hmm ich weiß jetzt nicht ob ich das mit dem y=f(x) richtig
> verstanden habe, aber ich habe es mal so versucht:
>  
> Sei y [mm]\in[/mm] f(U [mm]\cap[/mm] V)[ok]
>  [mm]\gdw \exists[/mm] x: (x [mm]\in[/mm] U [mm]\cap[/mm] V) [mm]\wedge[/mm] (y=f(x))[ok]
>  [mm]\blue{\Rightarrow \exists x\left (} (x \in U \wedge y=f(x)) \blue{\right)\wedge \left(\exists x} (x \in V\wedge y=f(x))\right)[/mm]

Du hast ja nur einmal obendrüber [mm] $\wedge [/mm] f(x)=y$. Für [mm] $y\in [/mm] f(U [mm] \cup [/mm] V)$ würde das gehen. Warum?

>  [mm]\gdw[/mm] (y=f(U)) [mm]\wedge[/mm] (y=f(V)) [notok]

Lass die Zeile weg

>  [mm]\gdw[/mm] (y [mm]\in[/mm] f(U)) [mm] $\blue{\wedge} [/mm] $ (y [mm]\in[/mm] f(V)) [ok]
>  [mm]\gdw[/mm] y [mm]\in[/mm] (f(U) [mm]\cap[/mm] f(V))[ok]
>  
> Sieht aber ehrlich gesagt nicht besonders gut aus^^

So passt es doch.

Bezug
                                                                
Bezug
Mengenabbildungen (Beweis): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:44 Mo 21.11.2011
Autor: Pauli85

Vielen Dank für deine Hilfe.

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