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| Aufgabe | Prüfen sie die folgenden Aussagen auf Richtigkeit:
A [mm] \cap [/mm] (B x C) =(A [mm] \cap [/mm] B) x (A [mm] \cap [/mm] C)
und bestätigen sie die Aussagen mit einem Beispiel A = {a,b} B= {b,c} C={d} |
ich würd sagen, dass die Aussage falsch ist und dann die Buchstaben einsetzen:
a,b A [mm] \cap [/mm] (b, c) X (d) = ((a,b) [mm] \cap [/mm] (b,c)) x ((a,b) [mm] \cap [/mm] (d))
stimmt das soweit? Und wie mache ich jetzt weiter?
Ich weiß nicht wie ich mit der Vereinigung umgehen soll.
Danke schonma
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:57 Di 13.09.2011 | | Autor: | abakus |
> Prüfen sie die folgenden Aussagen auf Richtigkeit:
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> A [mm]\cap[/mm] (B x C) =(A [mm]\cap[/mm] B) x (A [mm]\cap[/mm] C)
>
> und bestätigen sie die Aussagen mit einem Beispiel A =
> {a,b} B= {b,c} C={d}
> ich würd sagen, dass die Aussage falsch ist und dann die
> Buchstaben einsetzen:
>
> a,b A [mm]\cap[/mm] (b, c) X (d) = ((a,b) [mm]\cap[/mm] (b,c)) x ((a,b) [mm]\cap[/mm]
> (d))
>
> stimmt das soweit? Und wie mache ich jetzt weiter?
>
> Ich weiß nicht wie ich mit der Vereinigung umgehen soll.
Hallo,
welche Vereinigung????
Das Zeichen "x" steht für die Produktmenge.
B x C ist somit im Beispiel {(b,d), (c,d) }
Gruß Abakus
>
> Danke schonma
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:14 Di 13.09.2011 | | Autor: | notinX |
> > Prüfen sie die folgenden Aussagen auf Richtigkeit:
> >
> > A [mm]\cap[/mm] (B x C) =(A [mm]\cap[/mm] B) x (A [mm]\cap[/mm] C)
> >
> > und bestätigen sie die Aussagen mit einem Beispiel A =
> > {a,b} B= {b,c} C={d}
> > ich würd sagen, dass die Aussage falsch ist und dann
> die
> > Buchstaben einsetzen:
> >
> > a,b A [mm]\cap[/mm] (b, c) X (d) = ((a,b) [mm]\cap[/mm] (b,c)) x ((a,b) [mm]\cap[/mm]
> > (d))
> >
> > stimmt das soweit? Und wie mache ich jetzt weiter?
Hallo,
> >
> > Ich weiß nicht wie ich mit der Vereinigung umgehen soll.
> Hallo,
> welche Vereinigung????
ich denke das Zeichen ist gemeint: [mm] $\cap$
[/mm]
Es steht aber nicht für Vereinigung, sondern kennzeichnet den Schnitt zweier Mengen.
> Das Zeichen "x" steht für die Produktmenge.
Schau auch mal unter 'Kartesisches Produkt' nach.
> B x C ist somit im Beispiel {(b,d), (c,d) }
> Gruß Abakus
Macht diese Aufgabe überhaupt Sinn? Auf der linken Seite der Gleichung wird die Schnittmenge zweier Mengen gebildet, die sich gar nicht vergleichen lassen. Das ist als würde man Skalare mit Vektoren vergleichen.
> >
> > Danke schonma
> >
>
Gruß,
notinX
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Danke für deine Antwort.
Ich mein ja schnittmenge. Sorry, ich verwechselse immer diese beiden zeichen.
Also ich bin ja auch der Ansicht, dass es keinen Sinn macht, aber mir wurde diese Aufgabe so gestellt.
Da es nicht wirklich nen SInn ergeibt würd eich ja auch sagen, dass die Aussage falsch ist. Aber ich verstehe nicht wie ich das ganze anhand einem Beispiel verdeutlichen soll?
Wär echt nett, wenn jemand weiter wüsste.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:45 Mi 14.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast:
[mm] A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C) [/mm]
Also fang mal wie folgt an:
[mm] \{x\in A\cap(B\cup C)\} [/mm]
[mm] \Leftrightarrow\{x\in A\}\vee\{x\in(B\cup C)\} [/mm]
[mm] \Leftrightarrow\{x\in A\}\vee\left(\{x\in B\}\wedge\{x\in C)\}\right) [/mm]
[mm] \Leftrightarrow\{x\in A\}\vee\{x\in B\}\wedge\{x\in A\}\vee\{x\in C\} [/mm]
[mm] \Leftrightarrow\{x\in (A\cap B)\}\wedge\{x\in (A\cap C)\} [/mm]
[mm] \Leftrightarrow\{x\in (A\cap B)\cup(A\cap C)\} [/mm]
Die einzelnen Schritte müsstest du natürlich noch begründen.
Marius
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> Hallo
>
> Du hast:
>
> [mm]A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)[/mm]
Hallo Marius,
nein, er hat doch darüber zu befinden, ob [mm] A\cap (B\times C)=(A\cap B)\times (A\cap [/mm] C) stimmt!
Gruß v. Angela
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> Macht diese Aufgabe überhaupt Sinn?
Hallo,
ich denke schon, daß sie Sinn macht.
Bedenke, daß Schnittmengen auch leer sein können, und daß es Mengen gibt, die nicht spießig sind. Ich kann durchaus natürliche Zahlen, unnatürliche Farbstoffe und kaputte Socken in einer Menge sammeln...
Schau Dir mal die Beispiele in meiner ersten Antwort im Thread an.
Gruß v. Angela
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> Prüfen sie die folgenden Aussagen auf Richtigkeit:
>
> A [mm]\cap[/mm] (B x C) =(A [mm]\cap[/mm] B) x (A [mm]\cap[/mm] C)
>
> und bestätigen sie die Aussagen mit einem Beispiel A = {a,b} B= {b,c} C={d}
Hallo,
zunächst einmal frage ich mich, ob Du den Aufgabentext korrekt wiedergegeben hast, inkl. eines eventuell vorhandenen einleitenden Textes, und ob dort wirklich stand, daß Du mit diesem vorgegebenen Beispiel bestätigensollst. Mir kommt's etwas seltsam vor. Nein: sehr seltsam.
Unsinnig finde ich die Aufgabe nicht.
Ich halte jedoch die Aussage für verkehrt.
Bevor ich zeige, daß Die Aussage i.a. falsch ist, möchte ich Dir jedoch zeigen, daß es durchaus Mengen A,B,C geben kann, für welche die Aussage stimmt.
i)
Nehmen wir zuerst die angegebenen Mengen A = {a,b} B= {b,c} C={d}.
Es ist [mm] B\times [/mm] C= [mm] \{(b,d), (c,d)\},
[/mm]
[mm] A\cap (B\times [/mm] C)= [mm] \emptyset,
[/mm]
es ist [mm] A\cap [/mm] B= [mm] \{b\}, A\cap C=\emptyset,
[/mm]
und [mm] (A\cap B)\times (A\cap C)=\{b\}\times \emptyset =\emptyset [/mm] (nach def. des kartesischen Produktes mit einer leeren Menge.).
Für dieses Beispiel ist die Aussage richtig.
ii)
[mm] A:=\{(r,s), r, s\}, B:=\{r\}, C:=\{s\}.
[/mm]
Es ist [mm] B\times C=\{(r,s)\}, [/mm] also
[mm] A\cap (B\times C)=\{r,s\},
[/mm]
und [mm] A\cap B=\{r\}, A\cap C=\{s\} [/mm] und [mm] (A\cap B)\times (A\cap C)=\{(r,s)\}.
[/mm]
Auch hier haben wir die Gleichheit der Mengen.
iii) Jetzt aber ein Gegenbeispiel:
[mm] A:=\{(b,c), r\}, B:=\{b,s\}, C:=\{c\}.
[/mm]
[mm] B\times C=\{(b,c), (s,c)\},
[/mm]
[mm] A\cap (B\times [/mm] C)= [mm] \{(b,c)\},
[/mm]
jedoch ist [mm] A\cap B=\emptyset, [/mm]
also [mm] (A\cap B)\times (A\cap C)=\emptyset.
[/mm]
Gruß v. Angela
P.S.:
> ich würd sagen, dass die Aussage falsch ist und dann die
> Buchstaben einsetzen:
>
> a,b A [mm]\cap[/mm] (b, c) X (d) = ((a,b) [mm]\cap[/mm] (b,c)) x ((a,b) [mm]\cap[/mm]
> (d))
>
> stimmt das soweit?
Schon deshalb, weil nicht klar ist, was Mengenklammern sind und was Klammern sind, die Zahlempaare zusammenhalten, kann man das nicht entscheiden.
Und wie mache ich jetzt weiter?
>
> Ich weiß nicht wie ich mit der Vereinigung umgehen soll.
>
> Danke schonma
>
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Danke für die Ausführliche Erklärung. Allerdings ist mir einiges unklar.
Ich nehme mal das erste beispiel:
"Nehmen wir zuerst die angegebenen Mengen A = {a,b} B= {b,c} C={d}.
Es ist [mm] B\times [/mm] C= [mm] \{(b,d), (c,d)}, [/mm]
[mm] A\cap (B\times [/mm] C)= [mm] \emptyset, [/mm]
es ist [mm] A\cap [/mm] B= [mm] \{b\}, A\cap C=\emptyset, [/mm]
und [mm] (A\cap B)\times (A\cap C)=\{b\}\times \emptyset =\emptyset [/mm] (nach def. des kartesischen Produktes mit einer leeren Menge.).
Für dieses Beispiel ist die Aussage richtig."
Wieso kommt man denn darauf? [mm] A\cap (B\times [/mm] C)= [mm] \emptyset, [/mm]
also auf das [mm] \emptyset [/mm] ?
Einfach nur weil es der Schnitt ist?
und wieso gilt dann das es ist [mm] A\cap [/mm] B= [mm] \{b\}
[/mm]
und nicht es ist [mm] A\cap [/mm] B= [mm] \emptyset [/mm] ?
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> Danke für die Ausführliche Erklärung. Allerdings ist mir
> einiges unklar.
Hallo,
ich habe einen ganz entsetzlichen Verdacht:
Du weißt nicht, was "Schnittmenge" ist.
Das darf nicht sein, wenn Du Aufgaben zu bearbeiten hast, in denen "Schnittmenge" vorkommt.
Schau mal nach, wie in Vorlesung/Schule der Schnitt zweier Mengen definiert wurde.
In Worten: in der Schnittmenge zweier Mengen sind all die Elemente, die sowohl in der einen als auch in der anderen Menge sind.
>
> Ich nehme mal das erste beispiel:
>
>> "Nehmen wir zuerst die angegebenen Mengen A = {a,b} B= {b,c} C={d}.
>>
>> Es ist [mm]B\times[/mm] C= [mm] \{(b,d), (c,d)\}.
[/mm]
>>
>> [mm]A\cap (B\times[/mm] C)= [mm]\emptyset,[/mm]
>>
>> es ist [mm]A\cap[/mm] B= [mm]\{b\}, A\cap C=\emptyset,[/mm]
>>
>> und [mm](A\cap B)\times (A\cap C)=\{b\}\times \emptyset =\emptyset[/mm]
>> (nach def. des kartesischen Produktes mit einer leeren
>> Menge.).
>>
>> Für dieses Beispiel ist die Aussage richtig."
>
>
> Wieso kommt man denn darauf? [mm]A\cap (B\times[/mm] C)= [mm]\emptyset,[/mm]
>
> also auf das [mm]\emptyset[/mm] ?
Na, in A sind die beiden Elemente a und b, in [mm] B\times [/mm] C gibt es zwei Element, nämlich die beiden Zahlenpaare (b,d) und (c,d).
Es gibt kein Element, welches gleichzeitig in A und [mm] B\times [/mm] C liegt.
>
> Einfach nur weil es der Schnitt ist?
Ja, der Schnitt von A und [mm] B\times [/mm] C.
>
> und wieso gilt dann das es ist [mm]A\cap[/mm] B= [mm]\{b\}[/mm]
In A sind die beiden Elemente a und b,
in B die Elemente b und c.
Offenbar gibt es genau ein Element, welches in beiden Mengen liegt, nämlich b.
Deshalb ist die Menge, welche b enthält, die Schnittmenge von A und B.
> und nicht es ist [mm]A\cap[/mm] B= [mm]\emptyset[/mm] ?
Nein. Denn wir haben ja gefunden, daß b in beiden Mengen ist.
Gruß v. Angela
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Ich glaube ich weiß jetzt wo mein Denkfehler war.
Betrachtet man [mm]B\times[/mm] C= [mm] \{(b,d), (c,d)\} [/mm] das darin enthaltende b,d als ein einziges paar? und nicht das b einzeln?
Weil ich war der Ansicht, dass ich b als einzelnes paar nehme und das ist ja in A auch enthalten.
Ich weiß schon was die schnittmenge ist ;)
Danke!
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> Ich glaube ich weiß jetzt wo mein Denkfehler war.
>
> Betrachtet man [mm]B\times[/mm] C= [mm]\{(b,d), (c,d)\}[/mm] das darin
> enthaltende b,d als ein einziges paar? und nicht das b
> einzeln?
Hallo,
die obige Menge [mm] B\times [/mm] C enthält genau zwei Elemente, nämlich die beiden Zahlenpaare (b,d) und (c,d). Weder b noch d ist in der Menge enthalten.
>
> Weil ich war der Ansicht, dass ich b als einzelnes paar
???
Ein Paar sind immer zwei.
Du meinst wohl: als Element.
> nehme und das ist ja in A auch enthalten.
>
> Ich weiß schon was die schnittmenge ist ;)
Gut. Dann kann ich heute Nacht wieder schlafen.
Gruß v. Angela
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> Danke!
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