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Mengenbeweis: Mengenprodukt, Distributivgese
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:40 So 24.10.2010
Autor: mathenully

Aufgabe
A x (B [mm] \backslash [/mm] C) = (A x B) [mm] \backslash [/mm] (A x C)

Hallo, kann mir jemand einen Ansatz für diesen Beweis geben. Sollte eigentlich einfach sein, aber ich bekomme es irgendwie nicht hin! : (

        
Bezug
Mengenbeweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:09 So 24.10.2010
Autor: angela.h.b.


> A x (B [mm]\backslash[/mm] C) = (A x B) [mm]\backslash[/mm] (A x C)
>  Hallo, kann mir jemand einen Ansatz für diesen Beweis
> geben. Sollte eigentlich einfach sein, aber ich bekomme es
> irgendwie nicht hin! : (

Hallo,

zu zeigen ist hier die Gleichheit zweier Mengen, was zweierlei umfaßt:

1. A x (B [mm] $\backslash$ [/mm] C) [mm] \subseteq [/mm] (A x B) [mm] $\backslash$ [/mm] (A x C)
2. (A x B) [mm] $\backslash$ [/mm] (A x C) [mm] \subseteq [/mm] A x (B [mm] $\backslash$ [/mm] C).

Solche Aussagen beweist man elementweise.

Zu zeigen ist für
1. [mm] x\in [/mm] A x (B [mm] $\backslash$ [/mm] C) ==> [mm] x\in [/mm] (A x B) [mm] $\backslash$ [/mm] (A x C),
die andere analog.

Beweis zu 1.

Sei [mm] x\in [/mm] A x (B [mm] $\backslash$ [/mm] C).

(Nun mal überlegen, wie die Elemente von A x (B [mm] $\backslash$ [/mm] C) aussehen:)

Dann gibt es ein [mm] x_1\in [/mm] A und ein [mm] x_2\in B\backslash [/mm] C mit
[mm] x=(x_1, x_2). [/mm]

Nun mußt Du glaubhaft machen, daß dieses Paar in (A x B) [mm] $\backslash$ [/mm] (A x C) liegt.

Gruß v. Angela




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