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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 Mi 10.02.2010 | | Autor: | jens10 |
| Aufgabe | Es seien A,B,C,D Teilmengen einer Grundmenge M. Welche der folgenden. Aussagen sind allgemeingültig, welche sind es nicht? Beweisen Sie die Aussage gegebenenfalls oder widerlegen Sie sie durch ein Gegenbeispiel.
(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (C [mm] \cap [/mm] D) = (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \cap [/mm] (A [mm] \cup [/mm] D) [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C) [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] D)
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Ich möchte nur wissen, ob ich es endlich kapiert habe... :
ich zeige die linke Seite, dafür forme ich die linke Seite soweit wie möglich um:
Distributivgesetz:
(A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \cap [/mm] (A [mm] \cup [/mm] D) = A [mm] \cap [/mm] (C [mm] \cup [/mm] D) und
(B [mm] \cup [/mm] C) [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] D) = B [mm] \cap [/mm] (C [mm] \cup [/mm] D)
also :
(A [mm] \cap [/mm] (C [mm] \cup [/mm] D)) [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cap [/mm] (C [mm] \cup [/mm] D)) =
A [mm] \cap [/mm] (C [mm] \cup [/mm] D) [mm] \cap [/mm] B [mm] \cap [/mm] (C [mm] \cup [/mm] D) =
(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cap [/mm] (C [mm] \cup [/mm] D) [mm] \cap [/mm] (C [mm] \cup [/mm] D) =
(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cap [/mm] (C [mm] \cup [/mm] D) [mm] \not= [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (C [mm] \cap [/mm] D)
so ist die Aussage falsch !
Hoffe es ist richtig, wenn nicht, bitte nur Denkstoß geben...
danke im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:42 Mi 10.02.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es seien A,B,C,D Teilmengen einer Grundmenge M. Welche der
> folgenden. Aussagen sind allgemeingültig, welche sind es
> nicht? Beweisen Sie die Aussage gegebenenfalls oder
> widerlegen Sie sie durch ein Gegenbeispiel.
>
> (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] (C [mm]\cap[/mm] D) = (A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\cap[/mm] (A [mm]\cup[/mm] D)
> [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C) [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] D)
>
> Ich möchte nur wissen, ob ich es endlich kapiert habe...
> :
>
> ich zeige die linke Seite
was gibt's da zu zeigen? Was Du meinst, ist, dass Du die linke Seite umformen willst.
> dafür forme ich die linke Seite
> soweit wie möglich um:
>
> Distributivgesetz:
> (A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\cap[/mm] (A [mm]\cup[/mm] D) = A [mm]\cap[/mm] (C [mm]\cup[/mm] D)
Das ist mir leider neu! Es ist vielmehr
$$A [mm] \cap [/mm] (C [mm] \cup [/mm] D)=(A [mm] \cap [/mm] C) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap [/mm] D)$$
> und
> (B [mm]\cup[/mm] C) [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] D) = B [mm]\cap[/mm] (C [mm]\cup[/mm] D)
Das ist auch falsch:
$$B [mm] \cap [/mm] (C [mm] \cup [/mm] D)$$
kann man genauso wie oben umschreiben, anstatt [mm] $A\,$ [/mm] steht hier halt [mm] $B\,.$ [/mm] Jetzt weiß ich leider gar nicht,was Du hier
> also :
>
> (A [mm]\cap[/mm] (C [mm]\cup[/mm] D)) [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cap[/mm] (C [mm]\cup[/mm] D)) =
> A [mm]\cap[/mm] (C [mm]\cup[/mm] D) [mm]\cap[/mm] B [mm]\cap[/mm] (C [mm]\cup[/mm] D) =
> (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cap[/mm] (C [mm]\cup[/mm] D) [mm]\cap[/mm] (C [mm]\cup[/mm] D) =
> (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cap[/mm] (C [mm]\cup[/mm] D) [mm]\not=[/mm] (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] (C [mm]\cap[/mm]
> D)
eigentlich machst. Aber mal zu der Aufgabe:
Natürlich kann man erstmal versuchen, mit Rechengesetzen für Mengen (aber bitte mit richtigen bzw. gültigen Gesetzen!) beide Seiten der Gleichung umzuschreiben, so dass man sieht, dass da das gleiche steht, oder so, dass offensichtlich(er) wird, dass da nicht das gleiche steht.
Wenn man nach langer hin und Herrechnerei aber zu dem Ergebnis gelangt, dass die behauptete Gleichheit falsch ist, so sollte es doch kein Kunststück mehr sein, ein Gegenbeispiel anzugeben. Und bevor man viel rechnet hilft es manchmal auch schon, sich mal ein paar Venn-Diagramme aufzumalen. Um eine Aussage zu beweisen, ist das zwar nur bedingt hilfreich (weil die Mengen sich ja auf viele verschiedene Weisen überlagern können), aber manchmal hilft es einfach, schnell ein Gegenbeispiel anzugeben.
Betrachten wir nun mal:
[mm] $$A=[0,2],\;B=[1,3],\;C=[2,4] \text{ und }D=[3,5]\,.$$
[/mm]
Dann gilt einserseits
$$(A [mm] \cap B)\cup [/mm] (C [mm] \cap [/mm] D)=[1,2] [mm] \cup [3,4]\,,$$
[/mm]
andererseits
$$(A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \cap [/mm] (A [mm] \cup [/mm] D) [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C) [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] D)=[0,3] [mm] \cap([0,2] \cup [/mm] [3,5]) [mm] \cap [/mm] [1,4] [mm] \cap [1,5]=\ldots\,.$$
[/mm]
Z.B. wegen $4 [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap B)\cup [/mm] (C [mm] \cap [/mm] D))$ und $4 [mm] \notin [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \cap [/mm] (A [mm] \cup [/mm] D) [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C) [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] D)$ (beachte $4 [mm] \notin [/mm] [0,3]=(A [mm] \cup [/mm] B)$) haben wir also ein Gegenbeispiel gefunden.
Besten Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:38 Do 11.02.2010 | | Autor: | jens10 |
| Aufgabe | Es seien A,B,C,D Teilmengen einer Grundmenge M. Welche der folgenden Aussagen sind allgemeingültig, welche sind es nicht? Beweisen Sie die Aussage gegebenenfalls oder widerlegen Sie sie durch ein Gegenbeispiel.
(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (C [mm] \cap [/mm] D) = (A [mm] \cup [/mm] C) [mm] \cap [/mm] (A [mm] \cup [/mm] D) [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C) [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] D) |
Danke Marcel...
es ist einleuchtend und auch korrekt wie Du das angegangen bist:) nur leider hat sich bei mir in der Aufgabenstellung ein Fehler eingeschlichen:) oben steht nun die korrekte aufgabe.
Außerdem habe ich, wie Du es korrekt bemerkt hast falsche Gesetze angewandt.
Hoffe dieses Mal ist es richtig. Komme übrigens nicht zum gleichen Ergebnis wie vorhin:
Zu Zeigen, daß "linke Seite" = "rechte Seite"
Versuch durch Umformung der rechten Seite:
1. Teil) Anwendung des Distributivgesetzes:
(A [mm] \cup [/mm] C) [mm] \cap [/mm] (A [mm] \cup [/mm] D) = A [mm] \cup [/mm] (C [mm] \cap [/mm] D)
2. Teil) Anwendung des Distributivgesetzes:
(B [mm] \cup [/mm] C) [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] D) = B [mm] \cup [/mm] (C [mm] \cap [/mm] D)
Zusammenfassen der beiden Teile:
(A [mm] \cup [/mm] (C [mm] \cap [/mm] D)) [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] (C [mm] \cap [/mm] D))
Anwendung des Distributivgesetzes:
(C [mm] \cap [/mm] D) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B)
Anwendung des Kommutativgesetzes:
(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (C [mm] \cap [/mm] D)
Somit ist die Aussage korrekt!
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> Es seien A,B,C,D Teilmengen einer Grundmenge M. Welche der
> folgenden Aussagen sind allgemeingültig, welche sind es
> nicht? Beweisen Sie die Aussage gegebenenfalls oder
> widerlegen Sie sie durch ein Gegenbeispiel.
>
> (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] (C [mm]\cap[/mm] D) = (A [mm]\cup[/mm] C) [mm]\cap[/mm] (A [mm]\cup[/mm] D)
> [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] C) [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] D)
> Danke Marcel...
>
> es ist einleuchtend und auch korrekt wie Du das angegangen
> bist:) nur leider hat sich bei mir in der Aufgabenstellung
> ein Fehler eingeschlichen:) oben steht nun die korrekte
> aufgabe.
> Außerdem habe ich, wie Du es korrekt bemerkt hast falsche
> Gesetze angewandt.
>
> Hoffe dieses Mal ist es richtig. Komme übrigens nicht zum
> gleichen Ergebnis wie vorhin:
>
>
> Zu Zeigen, daß "linke Seite" = "rechte Seite"
>
> Versuch durch Umformung der rechten Seite:
>
> 1. Teil) Anwendung des Distributivgesetzes:
> (A [mm]\cup[/mm] C) [mm]\cap[/mm] (A [mm]\cup[/mm] D) = A [mm]\cup[/mm] (C [mm]\cap[/mm] D)
>
> 2. Teil) Anwendung des Distributivgesetzes:
> (B [mm]\cup[/mm] C) [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] D) = B [mm]\cup[/mm] (C [mm]\cap[/mm] D)
>
> Zusammenfassen der beiden Teile:
Vielleicht zuvor noch ein Hinweis auf Assoziativgesetz, denn Du klammerst ja die beiden ersten und die beiden letzten Mengen.
> (A [mm]\cup[/mm] (C [mm]\cap[/mm] D)) [mm]\cap[/mm] (B [mm]\cup[/mm] (C [mm]\cap[/mm] D))
>
> Anwendung des Distributivgesetzes:
> (C [mm]\cap[/mm] D) [mm]\cup[/mm] (A [mm]\cap[/mm] B)
Hallo,
ich bekomme hier [mm] (A\cap B)\cup(C\cap [/mm] D).
Wenn Du das jetzt noch gescheit aufschreibst mit Gleichheitszeichen, kannst Du's so machen.
Gruß v. Angela
> Anwendung des Kommutativgesetzes:
> (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] (C [mm]\cap[/mm] D)
>
> Somit ist die Aussage korrekt!
>
>
>
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:25 Do 11.02.2010 | | Autor: | jens10 |
Danke für die Antwort...
aber meinst Du, Du bekommst etwas anderes heraus?
Oder hab ich Dich falsch verstanden und es stimmt was ich da fabriziert habe:)
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> Danke für die Antwort...
>
> aber meinst Du, Du bekommst etwas anderes heraus?
> Oder hab ich Dich falsch verstanden und es stimmt was ich
> da fabriziert habe:)
>
Hallo,
ich bekomme Dein Ergebnis, hatte leider [mm] \cap [/mm] und [mm] \cup [/mm] vertauscht, was den Sinn meiner Antwort hochgradig entstellt hat.
Gruß v. Angela
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