Mengengleichheit Einheitskugel < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:47 So 12.12.2010 | | Autor: | kuperjan |
| Aufgabe | Dynamische 3D-Geometrie analytisch betrachtet an einem sehr einfachen linearen
Fall.
Seien e(1); e(2); e(3) die Standard-Basisvektoren in R3 und f : R3 -> R3 die Abbildung
mit der Vorschrift
f(x) =1/4(e(1) + e(2) + e(3) + x)
(a) Zeigen Sie: f ist eine Affinität und zwar eine Streckung. Bestimmen Sie auch das
Zentrum für f.
(b) Wie verläuft nun f(x), wenn x auf einer Geraden verläuft? Bestimmen Sie dazu für zwei verschiedene Punkte p; q die Bildmenge f(p v q) der Geraden p v q in Parameterdarstellung.
(c) Was ergibt sich, wenn x auf der Einheitskugel um den Nullpunkt läuft? |
Aufgabenteil a und b habe ich bereits gezeigt, mein problem liegt in c).
Also x ist aus R3 mit [mm] x^{T}*x=1
[/mm]
Meine Vermutung ist, das f(x) auf eine Kugel abbildet mit dem Mittelpunkt f(0) und dem Radius 1/4.
Jetzt muss ich doch zeigen, dass:
f(x)=f(0)+{x [mm] \in [/mm] R3 | [mm] x^{T}*x=1/16}
[/mm]
Also reicht zu zeigen, dass
1/4*x={x [mm] \in [/mm] R3 | [mm] x^{T}*x=1/16}
[/mm]
Leider hab ich hier keine Ahnung, wie ich die Mengengleichheit zeige.
Wäre sehr dankbar, für nen Denkanstoß bzw. Ansatz
Grüße Kuperjan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:44 Mo 13.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Es ist doch
$||f(x)-f(0)||= [mm] \bruch{1}{4}*||x||= \bruch{1}{4}$ [/mm] für x aus der Einheitskugeloberfläche
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:51 Mo 13.12.2010 | | Autor: | kuperjan |
Der Ansatz hat mir geholfen, aber ist das ist doch [mm] \bruch{1}{16}?!
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:09 Di 14.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Der Ansatz hat mir geholfen, aber ist das ist doch
> [mm]\bruch{1}{16}?![/mm]
Nein: [mm] $f(x)-f(0)=\bruch{1}{4}x$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 Di 14.12.2010 | | Autor: | kuperjan |
so stimme ich dir zu, aber du hattest ja ||f(x)-f(0)|| betrachtet,
und das ergibt meines erachtens [mm] \bruch{1}{16}
[/mm]
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Hallo,
ohne Details gelesen zu haben:
> so stimme ich dir zu, aber du hattest ja ||f(x)-f(0)||
> betrachtet,
> und das ergibt meines erachtens [mm]\bruch{1}{16}[/mm]
Hmm, wenn du [mm]f(x)-f(0)=\frac{1}{4}[/mm] zustimmst, so ist doch
[mm]||f(x)-f(0)||=\left|\left|\frac{1}{4}x\right|\right|=\frac{1}{4}\cdot{}||x||=\frac{1}{4}\cdot{}1=\frac{1}{4}[/mm] für x auf der Einheitskugeloberfläche
Für Normen [mm]||\cdot||[/mm] , [mm]x\in\text{VR}[/mm] bel. und einen bel. Skalar [mm]\alpha[/mm] gilt doch [mm]||\alpha\cdot{}x||=|\alpha|\cdot{}||x||[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:56 Di 14.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> ohne Details gelesen zu haben:
>
> > so stimme ich dir zu, aber du hattest ja ||f(x)-f(0)||
> > betrachtet,
> > und das ergibt meines erachtens [mm]\bruch{1}{16}[/mm]
>
> Hmm, wenn du [mm]f(x)-f(0)=\frac{1}{4}[/mm] zustimmst, so ist doch
>
> [mm]||f(x)-f(0)||=\left|\left|\frac{1}{4}x\right|\right|=\frac{1}{4}\cdot{}||x||=\frac{1}{4}\cdot{}1=\frac{1}{4}[/mm]
> für x auf der Einheitskugeloberfläche
>
> Für Normen [mm]||\cdot||[/mm] , [mm]x\in\text{VR}[/mm] bel. und einen bel.
> Skalar [mm]\alpha[/mm] gilt doch
> [mm]||\alpha\cdot{}x||=\alpha\cdot{}||x||[/mm]
Hallo schachuzipus,
Du meinst sicher: [mm]||\alpha\cdot{}x||=|\alpha| \cdot{}||x||[/mm]
Gruß FRED
>
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
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Hallo Fred,
> >
> > Für Normen [mm]||\cdot||[/mm] , [mm]x\in\text{VR}[/mm] bel. und einen bel.
> > Skalar [mm]\alpha[/mm] gilt doch
> > [mm]||\alpha\cdot{}x||=\alpha\cdot{}||x||[/mm]
>
> Hallo schachuzipus,
>
> Du meinst sicher: [mm]||\alpha\cdot{}x||=|\alpha| \cdot{}||x||[/mm]
Klar meinte ich das ...
Wo habe ich nur meinen Kopf?! ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Danke für's Aufpassen!
LG
schachuzipus
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