Mengenidentitäten < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:16 Sa 01.12.2007 | | Autor: | babsbabs |
| Aufgabe | Beweisen oder wiederlegen Sie die folgenden Identitäten für Mengen:
1) (A x B) [mm] \cup [/mm] (B x A) = (A [mm] \cup [/mm] B) x (A [mm] \cup [/mm] B) |
Hätte folgenden Ansatz:
linke Seite:
(a,b) [mm] \in [/mm] (A x B) [mm] \cup [/mm] (B x A) =
(a,b) [mm] \in [/mm] A x B [mm] \cup [/mm] (a,b) [mm] \in [/mm] B x A =
a [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] b [mm] \in [/mm] B [mm] \cup [/mm] a [mm] \in [/mm] B [mm] \cap [/mm] b [mm] \in [/mm] A
rechte Seite:
(a,b) [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) x (A [mm] \cup [/mm] B) =
a [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B [mm] \cap [/mm] b [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B =
a [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] a [mm] \in [/mm] B [mm] \cap [/mm] b [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] b [mm] \in [/mm] B
dh es müsste Mengenidentität vorliegen
Hab keine Ahnung ob das Stimmt! (Haben das ganze nur mit einer und Verknüpfung in der Übung gemacht)
|
|
| |
|
Hallo,
das vermischst du aber nach Belieben logische Verknüpfungen mit Mengenverknüpfungen.
Aber zuerst: ein kleines Gegenbeispiel hätte hier gereicht:
[mm] $A=\{1\}, B=\{2\}$, [/mm] dann gilt:
$(A [mm] \times [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \times [/mm] A) = [mm] (\{1\} \times \{2\}) \cup (\{2\} \times \{1\}) [/mm] = [mm] \{(1,2)\} \cup \{(2,1)\} [/mm] = [mm] \{(1,2),(2,1)\}$, [/mm] aber
$(A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \times [/mm] (B [mm] \cup [/mm] A) = [mm] (\{1\} \cup \{2\}) \times (\{2\} \cup \{1\}) [/mm] = [mm] \{1,2\} \times \{1,2\} [/mm] = [mm] \{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\}$
[/mm]
Zur richtigen Notation:
$(a,b) [mm] \in [/mm] (A [mm] \times [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \times [/mm] A)$
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] (a,b) [mm] \in [/mm] A [mm] \times [/mm] B [mm] \vee [/mm] (a,b) [mm] \in [/mm] B [mm] \times [/mm] A$
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] (a [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] b [mm] \in [/mm] B) [mm] \vee [/mm] (a [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] b [mm] \in [/mm] A)$
$(a,b) [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \times [/mm] (B [mm] \cup [/mm] A)$
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] (a,b) [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B [mm] \vee [/mm] (a,b) [mm] \in [/mm] B [mm] \cup [/mm] A$
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] (a [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] a [mm] \in [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] (b [mm] \in [/mm] B [mm] \vee [/mm] b [mm] \in [/mm] A)$
Die beiden Ausdrücke jeweils am Ende sind nicht äquivalent. Du kannst ja die Klammern auflösen. Dann siehst du das der erste restriktiver ist als der andere.
Gruß
Martin
|
|
|
|
