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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:44 Mi 15.10.2008 | | Autor: | Schetto |
| Aufgabe | Welche der folgenden Aussagen sind für beliebige Mengen A, B, C wahr? Begründen Sie ihre Antwort mit einem Beweis oder einem Gegenbeweis.
a.) A [mm] \cap [/mm] ( B [mm] \cup [/mm] C) = (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C)
b.) (A \ B) [mm] \cap [/mm] C = ( A [mm] \cap [/mm] C) \ B
c.) A \ (B [mm] \cup [/mm] C) = (A \ B) [mm] \cup [/mm] (A \ C) |
Hallo Leute, hab mir hier schonmal ein paar Artikel durchgelesen aber nicht wirklich was gefunden was mit weiter hilft. Es ist folgendes Problem, ich bin Student und wir wurden mit mehreren Aufgaben erstmal ins kalte Wasser gestoßen. Eine davon ist diese hier zum Thema Mengenlehre.
Nun leider wurde bei mir dieses Thema lange her bzw kann mich auch garnicht erinnern es jemals gehabt zu haben!
Hab jetzt versucht es mir durch logisches denken zu erklären bzw erstmal versucht die Aufgabenstellung zu verstehen! Hierzu habe ich mir die Mengen als Kreise vorgestellt
zu a.) Ein Kreis A oder die Kreise B und C zusammen sind genauso groß wie Kreis A oder B und A oder C. Auf der linken seite wären das also die Möglichkeiten A oder BC, auf der rechten AA, AC, BA, BC...
Somit ist die Aussage falsch weil zum Beispiel einmal A auf der linken Seite ungleich ist mit 2 mal A auf der rechten Seite...
Meine Frage ist nun ob mein Denken richtig ist bzw inwiefern man da nun einen Beweis oder Gegenbeweis anstellt. Wie genau ist die Vorgehensweise bei solchen Aufgaben? Worauf sollte man achten etc etc...
Uu b und c habe ich ähnliche Kreismodelle die aber auch nicht wirklich die Aufgabenstellung lösen.
Bin für jede Hilfe dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:30 Mi 15.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Vorstellung ist so falsch. Insbesondere ,da du von Groesse sprichst
[mm] A\cup [/mm] A ist immer noch A und nicht 2A
Wenn du dirs mit Kreisen veranschaulichst nimm erst mal 3 kreise die sich ueberschneiden.
dann ist [mm] A\cup [/mm] B die Vereinigung der 2 Kreise, also das Teil , wo sie sich ueberschneiden + die 2 Teile wo sie sich nicht ueberschneiden.
[mm] A\cap [/mm] B ist nur das Teil, wo sie sich ueberschneiden.
jetzt versuch mal die linke Seite und die rechte Seite aufzumalen.
Wenn alle 3 Kreise kein Stueck geminsam haben dann ist links nichts, d.h. die leere Menge, denn A hat ja weder mit B noch mit C was gemeinsam.
rechts kommt auch die leere Menge raus. ueberleg selbst warum.
fuer [mm] A\B [/mm] sieh dir mal die Bildchen und Erklaerungen in Wikipedia an ![[]](/images/popup.gif) hier fang bei definitionen an.
Mit Hilfe der Definitionen fuehrt man dann auch die Beweise.
also vermeid Worte oder Denken wie genauso gross und oder.
oder gilt nur fuer die Elemente der Menge. Ein element von [mm] A\cup [/mm] B liegy in A oder in B
ein Element aus [mm] A\cap [/mm] B liegt in A und in B!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 Mi 15.10.2008 | | Autor: | Schetto |
Ok das bei Wikipedia hat mir auf jedenfall etwas weiter geholfen aber auch wiederrum fragen aufgeworfen. Es ist halt diese typische Mathematikersprache die ich nicht wirklich verstehe und schwer finde sich reinzudenken! Habe aber jetzt fleißig Kreise gemalt:
zu a.)
Links habe ich drei gleichgroße Kreise gemalt die sich jeweils schneiden.
Den gemeinsammen Schnitt von A mit dem beiden Kreismengen B und C habe ich ausgemalt.
Rechts auch wieder drei Kreise die sich schneiden wobei ich hier zuerst den Schnitt von A mit B ausgemalt habe und danach den Schnitt von A mit C.
Bei beiden ist die Fläche die selbe! Somit ist die Aussage richtig? Aber wie genau ist der richtige Beweis?
zu b.)
Auch wieder mit den drei Kreisen:
Links Schnitt von der Kreisfläche A, wobei ich den Schnitt mit B wegnehme, mit Fläche C ist auch wieder ausgemalt so groß wie die rechte Seite gemalt mit Schnittfläche A mit C wobei ich von der Schnittfläche das wegnehme was in Kreis B mit reingeht!
zu c.)
Fläche A ohne die Teilemenge/Flächen von B und C ist genauso groß wie Teilmenge von A ohne B und A ohne C...
Also verstanden habe ich denke ich die Modelle bzw kann nachvollziehen dass alle 3 Aussagen stimmen mit meinen Zeichnungen...
Kann mir jemand sonst mal ein oder zwei einfache Beispiele nennen wie man einen Beweis schreibt. Das habe ich bei Wikipedia net nachvollziehen können...
Auch mit dem zweizeiler zur "leeren menge" kann ich nix anfangen :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:58 Mi 15.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
c) hast du falsch beschrieben:
1. hast du wieder mit gross argumentiert, zweitens offensitlich falsch gemalt.
links" ein kreis mit 2 einbuchtungen die von C und B weggenommen wurden.
rechts mal mal die 2 Einzelmengen, dann die Vereinigung!
Bastiane hat dir schon nen formalen Beweis gezeigt:
Du musst die Mengen durch ihre Elemente beschreiben:
also in Worten:
wenn x ein Element von [mm] A\cup [/mm] B ist dann ist x Element von A oder von B. (nicht das entweder oder sondern das einschliessende oder)
wenn x ein Element von A/B ist ist x Element von A und nicht Element von B.
jetzt beschreibt man so die Menge links und die menge rechts und sieht dann ob es dieselben Elemente sind.
Die Diagramme helfen dabei.
probiers einfach mal!
(man sollte auch ueberpruefen, ob die Aussagen noch richtig sind wenn es keine gemeinsamen elemnte in 2 oder 3 der Mengen gibt. als Zeichnung: ists noch richtig wenn sich alle 3 Kreise nicht schneiden, oder nur je 2 schneiden, oder nur 2 schneiden der dritte gar nicht.
Gruss leduart.
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Hallo Schetto!
> a.) A [mm]\cap[/mm] ( B [mm]\cup[/mm] C) = (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C)
Schau mal hier.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:28 Do 16.10.2008 | | Autor: | Schetto |
Ok vielen Dank,
hab mir die Seiten bei Wiki nochmal angeguckt und es jetzt wirklich verstanden! Bzw auch die Lösung von Aufgabe a hat mir sehr geholfen da man es da Schirtt für Schritt gut nachvollziehen konnte.
Also danke und viel Spaß weiterhin bei der Mathematik ^^
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