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| Aufgabe | Sind folgende Aussagen wahr oder falsch?
a) Jeder Bruch [mm] \bruch{a}{b} [/mm] ,a,b [mm] \in\IN [/mm] ist als Dezimalzahl darstellbar.
b) Jede Dezimalzahl ist als Bruch [mm] \bruch{a}{b} [/mm] ,a,b [mm] \in\IN [/mm] darstellbar.
c) [mm] \wurzel{2} [/mm] = [mm] \bruch{2048,499813}{1448,508109} [/mm] |
a) [mm] \in\IN [/mm] schließ die "0" ja nicht ein, deswegen würde ich sagen, dass es eine wahre Aussage ist.
b) Gegenbeispiel die Zahl [mm] \pi [/mm] ...lässt sich nur Näherungsweise darstellen, deswegen falsch Aussage.
c) Wenn ich den Bruch in Taschenrechner eingebe und ihn mit dem Ergebnis von [mm] \wurzel{2} [/mm] vergleiche, dann sind die Ergebnisse identisch. Ist damit die Aussage wahr?
Stimmt das so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:23 So 09.11.2008 | | Autor: | M.Rex |
> Sind folgende Aussagen wahr oder falsch?
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> a) Jeder Bruch [mm]\bruch{a}{b}[/mm] ,a,b [mm]\in\IN[/mm] ist als Dezimalzahl
> darstellbar.
> b) Jede Dezimalzahl ist als Bruch [mm]\bruch{a}{b}[/mm] ,a,b [mm]\in\IN[/mm]
> darstellbar.
> c) [mm]\wurzel{2}[/mm] = [mm]\bruch{2048,499813}{1448,508109}[/mm]
> a) [mm]\in\IN[/mm] schließ die "0" ja nicht ein, deswegen würde
> ich sagen, dass es eine wahre Aussage ist.
Ist es. Mach mal die Unterscheidung "periodische Dezimalzahl" und "Nichtperiodische Dezimalzahl".
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> b) Gegenbeispiel die Zahl [mm]\pi[/mm] ...lässt sich nur
> Näherungsweise darstellen, deswegen falsch Aussage.
Korrekt. Das kann man auch so stehen lassen.
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> c) Wenn ich den Bruch in Taschenrechner eingebe und ihn mit
> dem Ergebnis von [mm]\wurzel{2}[/mm] vergleiche, dann sind die
> Ergebnisse identisch. Ist damit die Aussage wahr?
nein, das ist ein "Rundungsproblem". [mm] \vurzel{2} [/mm] ist irrational, also gibt es keine Bruchdarstellung, dazu gibt es (auch hier im Forum) einige Beweise.
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> Stimmt das so?
Marius
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b un c sind geklärt und einleuchtend.
wegen a)
Wie soll ich das aufschreiben.
Brüche wie: 1/2 lassen sich eindeutig widergeben in dem Fall 0,5...
Brüche wie: 3/13 lassen sich näherungsweise als Dezimalzahl angeben
Brüche wie: x/0 lassen sich gar nicht darstellen
So?
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Vorab zu c): Dein Rechner ist einfach zu kurz. Meiner zeigt als Quadrat des angegebenen Bruches 2,0000000000874679862799136767393...
Jetzt aber zu a):
Jede rationale Zahl ist als Bruch darstellbar (das ist ja die Definition). In der Darstellung in einem beliebigen Zahlensystem gibt es dabei nur zwei mögliche Ergebnisse:
1) Die Darstellung hat eine endliche Länge, z.B. im Dezimalsystem [mm] \bruch{1}{16}=0,0625
[/mm]
2) Die Darstellung hat keine endliche Länge, ist aber ab einer bestimmten Stelle periodisch, z.B. [mm] \bruch{1}{7}=0,142857142857142857142857142857142857142857...
[/mm]
Dafür kennst Du ja die Schreibweise [mm] \bruch{1}{7}=0,\overline{142857}
[/mm]
Übrig bleiben dann nur noch Zahlen, die nicht endlich lang dargestellt werden können und nicht-periodisch sind. Sie können tatsächlich nicht als Bruch dargestellt werden, sind irrational und (i.a.) transzendent.
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Kann ich das nicht so beantworten:
Brüche wie: 1/2 lassen sich eindeutig widergeben in dem Fall 0,5...
Brüche wie: 3/13 lassen sich näherungsweise als Dezimalzahl angeben
Brüche wie: x/0 lassen sich gar nicht darstellen
Also quasie 2 Fälle a,b [mm] \in\IN [/mm] bzw. a,b [mm] \in\IN0
[/mm]
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Nein, das ist keine richtige Antwort.
Eine rationale Zahl [mm] \bruch{a}{b}, a,b\in\IN [/mm] lässt sich genau dann in endlicher Länge darstellen, wenn b nur Primteiler enthält, die auch die Basis des Zahlensystems enthält. Darum ist [mm] \bruch{1}{5^5} [/mm] z.B. so kurz: 0,00032.
Andere rationale Zahlen sind exakt als Dezimalzahl darstellbar, aber eben nicht endlich lang. Mit Einführung der Notation einer Periodik sind aber auch sie in endlicher Länge aufzuschreiben (auch wenn sie natürlich unendlich weitergehen).
[mm] \bruch{x}{0} [/mm] ist schlicht nicht definiert und daher auch keine rationale Zahl. Außerdem war [mm] \IN_0 [/mm] ja gar nicht gefragt. Um alle nicht-negativen rationalen Zahlen zu erhalten, hätte die Definition lauten müssen: [mm] a\in\IN_0, b\in\IN
[/mm]
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Zu dieser Aufgabenstellung müsste zuerst eine wichtige
grundsätzliche Frage geklärt werden:
Was ist gemeint mit "als Dezimalzahl darstellbar" ?
sind da nur abbrechende Dezimalzahlen zugelassen ?
sind periodische Zahlen ausser jenen mit Nullperiode
auch zugelassen ?
gilt eine Zahl als "darstellbar", wenn man zwar ihre
unendlich vielen Stellen nicht wirklich ausrechnen kann,
aber dazu ein theoretisch gültiges Rezept hat ?
Al-Chwarizmi
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