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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:39 Di 25.09.2012 | | Autor: | Franhu |
| Aufgabe | Zeigen Sie dass für Mengen A, B [mm] \subseteq [/mm] X gilt:
1.) X \ (A [mm] \cup [/mm] B) = (X \ A) [mm] \cap [/mm] (X \ B)
2.) X \ (A [mm] \cap [/mm] B) = (X \ A) [mm] \cup [/mm] (X \ B) |
Hallo Zusammen.
Leider komme ich beim beweisen diesen Aussagen nicht weiter.
Ich muss beweisen dass die eine Seite Teilmenge der anderen ist und umgekehrt.
d. heisst für alle x Element der Seite A folgt x Element B.
zu 1.) habe ich mir folgendes überlegt:
x [mm] \in [/mm] X und x [mm] \not\in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)
x [mm] \in [/mm] X und x [mm] \not\in [/mm] A und x [mm] \not\in [/mm] B
Nun weiss ich aber nicht wie Ich weitermachen muss, damit es ein korrekter Beweis ist?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Gruss Franhu
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Moin!
Die Gleichzeit zweier Mengen zeigst du, in dem du die Inklusionen
$ X [mm] \setminus [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \subseteq [/mm] (X [mm] \setminus [/mm] A) [mm] \cap [/mm] (X [mm] \setminus [/mm] B) $
$ X [mm] \setminus [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \supseteq [/mm] (X [mm] \setminus [/mm] A) [mm] \cap [/mm] (X [mm] \setminus [/mm] B) $
nachweist. Ich zeig' Dir die erste:
Sei $ x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] x [mm] \notin [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \notin [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \notin [/mm] B) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] (X [mm] \setminus [/mm] A) [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] (X [mm] \setminus [/mm] B) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] (X [mm] \setminus [/mm] A) [mm] \cap [/mm] (X [mm] \setminus [/mm] B)$
Die zweite darfst Du machen. Gib' Rückmeldung, wenn du Fragen hast.
Viele Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Mi 26.09.2012 | | Autor: | Franhu |
Hallo!
Vielen Dank für deine Antwort! Kann ich dieses Gesetzt auch auf eine andere art beweisen. z.B habe ich mir gedacht:
X \ (A [mm] \cup [/mm] B) ist ja das gleiche wie: X [mm] \cap [/mm] ( [mm] \neg [/mm] A [mm] \cap \neg [/mm] B)
und
(X \ A) [mm] \cap [/mm] (X \ B) ist das gleiche wie [mm] (\neg [/mm] A [mm] \cap [/mm] X) [mm] \cap (\neg [/mm] B [mm] \cap [/mm] X)
X [mm] \cap [/mm] ( [mm] \neg [/mm] A [mm] \cap \neg [/mm] B) = [mm] (\neg [/mm] A [mm] \cap [/mm] X) [mm] \cap (\neg [/mm] B [mm] \cap [/mm] X)
Da nun X [mm] \cap [/mm] X = X und die Mengen-Operationen Schnitt und Vereinigung kommutativ, assoziativ und distributiv zueinander sind, steht auf beiden Seiten das gleiche:
X [mm] \cap \neg [/mm] A [mm] \cap \neg [/mm] B = X [mm] \cap \neg [/mm] A [mm] \cap \neg [/mm] B
Habe Ich es so auch bewiesen?
Danke für deine Hilfe.
Gruss Franhu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:41 Mi 26.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo!
>
> Vielen Dank für deine Antwort! Kann ich dieses Gesetzt
> auch auf eine andere art beweisen. z.B habe ich mir
> gedacht:
>
> X \ (A [mm]\cup[/mm] B) ist ja das gleiche wie: X [mm]\cap[/mm] ( [mm]\neg[/mm] A [mm]\cap \neg[/mm]
> B)
wie definierst Du [mm] $\neg [/mm] A$ als Menge? [mm] $\neg$ [/mm] ist ein logisches Symbol,
[mm] $A\,$ [/mm] eine Menge. "Nicht Menge [mm] $A\,$" [/mm] hört sich sinnlos an. Meinst Du
vielleicht [mm] $\overline{A}$ [/mm] bzw. [mm] $\overline{A}=A^c=X \setminus [/mm] A$?
> und
>
> (X \ A) [mm]\cap[/mm] (X \ B) ist das gleiche wie [mm](\neg[/mm] A [mm]\cap[/mm] X)
> [mm]\cap (\neg[/mm] B [mm]\cap[/mm] X)
>
> X [mm]\cap[/mm] ( [mm]\neg[/mm] A [mm]\cap \neg[/mm] B) = [mm](\neg[/mm] A [mm]\cap[/mm] X) [mm]\cap (\neg[/mm]
> B [mm]\cap[/mm] X)
>
> Da nun X [mm]\cap[/mm] X = X und die Mengen-Operationen Schnitt und
> Vereinigung kommutativ, assoziativ und distributiv
> zueinander sind, steht auf beiden Seiten das gleiche:
>
> X [mm]\cap \neg[/mm] A [mm]\cap \neg[/mm] B = X [mm]\cap \neg[/mm] A [mm]\cap \neg[/mm] B
>
> Habe Ich es so auch bewiesen?
Ich sehe da gar nichts, was Du bewiesen hast. Natürlich könntest Du
$$X [mm] \setminus [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)=X [mm] \cap [/mm] (A [mm] \cup B)^c$$
[/mm]
schreiben und dann $(A [mm] \cup B)^c=A^c \cap B^c$ [/mm] schreiben, wenn Du
die de Morgansche Gesetze schon zur Verfügung HÄTTEST, aber de Morgan
hast Du sicher noch nicht, denn Eure Aufgabe hier ist's ja gerade, eines der
de Morganschen Gesetze zu beweisen.
Was Du machen kannst:
Zeige, dass
$$x [mm] \in [/mm] X [mm] \setminus [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \gdw [/mm] (x [mm] \in [/mm] (X [mm] \setminus [/mm] A) [mm] \text{ UND }x \in [/mm] (X [mm] \setminus [/mm] B))$$
Wenn Du halt immer in zwei Richtungen folgern kannst [mm] ($\gdw$!), [/mm] dann
bedeutet ja das letztstehende gerade (weil das [mm] $x\,$ [/mm] immer "beliebig" ist):
[mm] "$\Rightarrow$": [/mm] zeigt $X [mm] \setminus [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \subseteq [/mm] ((X [mm] \setminus [/mm] A) [mm] \cap [/mm] (X [mm] \setminus [/mm] B))$
[mm] "$\Leftarrow$": [/mm] zeigt $((X [mm] \setminus [/mm] A) [mm] \cap [/mm] (X [mm] \setminus [/mm] B)) [mm] \subseteq [/mm] X [mm] \setminus [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)$
Und dann kannst Du natürlich so anfangen:
$$x [mm] \in [/mm] X [mm] \setminus [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \gdw [/mm] (x [mm] \in [/mm] X [mm] \textbf{ und } [/mm] x [mm] \notin [/mm] A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \gdw [/mm] ...$$
Das passt dann auch eher zu Deinem [mm] $\neg$:
[/mm]
Denn es ist $x [mm] \notin [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \gdw \neg(x \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)) [mm] \gdw (\neg( [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \textbf{ oder } [/mm] x [mm] \in B))\gdw (\neg( [/mm] x [mm] \in [/mm] A) [mm] \textbf{ und } \neg(x \in B))\gdw [/mm] (x [mm] \notin [/mm] A [mm] \textbf{ und }x \notin [/mm] B) [mm] \gdw \ldots$
[/mm]
(Da verwendet man quasi "die de Morganschen Gesetze der Logik"!
Aber Du siehst: Da werden mit [mm] $\neg$ [/mm] AUSSAGEN(!!) negiert, und man
negiert nicht MENGEN!)
So als Stütze: Lies' [mm] $\neg$ [/mm] immer als "Es gilt nicht...", dann merkst Du
schnell, dass eine Aussage wie [mm] $\neg(x \in [/mm] A)$ sinnvoll ist:
"Es gilt nicht, dass [mm] $x\,$ [/mm] in [mm] $A\,$ [/mm] liegt!"
Und [mm] $\neg [/mm] A$ wird dann sinnlos, wenn [mm] $A\,$ [/mm] nicht eine Aussage, sondern
eine Menge ist: [mm] $\neg [/mm] A$: "Es gilt nicht, dass Menge [mm] $A\,$."
[/mm]
Klingt doch nicht sinnvoll bzw. zumindest nicht vollständig, irgendwie wie
"ein abgebrochener Satz", den man noch zu komplettieren hätte!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:26 Mi 26.09.2012 | | Autor: | Franhu |
Hallo.
Ups, da ist mir ein Fehler unterlaufen. Mit [mm] \neg [/mm] A meinte ich eigentlich : [mm] \overline{A}=A^c=X \setminus [/mm] A.
X [mm] \cap (\overline{A} \cap \overline{B}) [/mm] = [mm] (\overline{A} \cap [/mm] X) [mm] \cap (\overline{B} \cap [/mm] X)
Ich wollte das eigentlich so schreiben und damit zeigen, dass beide Seiten wegen dem Kommutativgesetz gleich sind. Aber das ist wohl auch nicht korrekt, deshalb werde ich es nach deinem Vorschlag machen.
Danke für deine Hilfe.
Gruss Franhu
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Mi 26.09.2012 | | Autor: | Franhu |
So in die eine Richtung ist es so:
x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] x [mm] \notin [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \notin [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \notin [/mm] B) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] (X [mm] \setminus [/mm] A) [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] (X [mm] \setminus [/mm] B) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] (X [mm] \setminus [/mm] A) [mm] \cap [/mm] (X [mm] \setminus [/mm] B)
In die andere Richtung habe ich es nun so gemacht:
x [mm] \in [/mm] (X \ A) [mm] \cap [/mm] (X \ B) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X und x [mm] \notin [/mm] A und x [mm] \in [/mm] X und x [mm] \notin [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X und x [mm] \notin [/mm] A und x [mm] \notin [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X und x [mm] \notin [/mm] (A und B) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X \ (A [mm] \cup [/mm] B)
Ist das korrekt?
Gruss Franhu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:19 Mi 26.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> So in die eine Richtung ist es so:
beginne mit $x [mm] \in [/mm] X [mm] \setminus [/mm] (A [mm] \cup B)\,,$ [/mm] dann kannst Du weitermachen, wie es bei Dir steht:
> x [mm]\in[/mm] X [mm]\wedge[/mm] x [mm]\notin[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B)
Hier würde ich einen Zwischenschritt mindestens machen:
[mm] $$\Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \text{ und } \neg( [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \text{ oder }x \in [/mm] B)$$
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] X [mm]\wedge[/mm] (x [mm]\notin[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\notin[/mm] B)
Wieder Zwischenschritt:
[mm] $$\Rightarrow [/mm] ((x [mm] \in [/mm] X [mm] \text{ und }x \notin [/mm] A) [mm] \text{ und }(x \in [/mm] X [mm] \text{ und }x \notin [/mm] B))$$
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] (X [mm]\setminus[/mm] A) [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] (X [mm]\setminus[/mm] B)
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] (X [mm]\setminus[/mm] A) [mm]\cap[/mm] (X [mm]\setminus[/mm] B)
Das sieht gut aus, aber Du folgerst halt gerade an den "wichtigen" Stellen
schnell. Klar, das ist irgendwie, weil wir "geübt" sind, selbstverständlich,
aber es geht ja gerade darum, dass man die Stellen, die man in
"selbstverständlicher Art und Manier" einfach überspringt, eben so sichtbar
macht, dass ungeübte sie nicht erraten müssen!
Aber der Weg war so okay! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> In die andere Richtung habe ich es nun so gemacht:
>
> x [mm]\in[/mm] (X \ A) [mm]\cap[/mm] (X \ B)
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] X und x [mm]\notin[/mm] A und x [mm]\in[/mm] X und x [mm]\notin[/mm] B
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] X und x [mm]\notin[/mm] A und x [mm]\notin[/mm] B
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] X und x [mm]\notin[/mm] (A und B)
Hier meinst Du "Es ist weder $x [mm] \in [/mm] A$ noch $x [mm] \in [/mm] B$". Die Menge
$A [mm] \text{ und }B$ [/mm] gibt's nicht, und wenn Du sie als $A [mm] \cap [/mm] B$ meinst, ist
obiges falsch!
Ich würde das an obiger Stelle jetzt so weiterschreiben (also die Zeile
mit $A [mm] \text{ und }B$ [/mm] sei gelöscht!)
[mm] $$\Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \text{ und } (\neg(x \in [/mm] A) [mm] \text{ und }\neg(x \in [/mm] B))$$
[mm] $$\Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \text{ und }\neg [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \text{ oder }x \in [/mm] B)$$
Hat nämlich den Vorteil, dass ich "den logischen de Morgan" benutzt habe,
was ihr sicher dürft! (Aber hier nur bzgl. der Logik!!)
Weiter geht's dann mit
[mm] $$\Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \text{ und }x \notin [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)$$
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] X \ (A [mm]\cup[/mm] B)
>
> Ist das korrekt?
Es war nicht ganz perfekt, aber der Weg ist der richtige gewesen. Mach'
Dir auch keinen Kopf drum, das ist normal. Auch die Fehler, die Du
gemacht hast (auch mit dem [mm] $\neg [/mm] A$ etc. pp.) sind keine Seltenheit.
Mit ein wenig Erfahrung wird Dir sowas nicht mehr passieren. Ich denke,
Du bist auf 'nem guten Weg! (Was diese Aufgaben hier betrifft -
ob das allgemein auch so ist, wird sich im Laufe der Zeit
herauskristallisieren und im Wesentlichen wirst Du das nur selbst
herausfinden können!)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:00 Mi 26.09.2012 | | Autor: | Franhu |
Danke für deine ausführliche Antwort und deine Tips. Manchmal denke ich, ich verstehe es aber dann beim 2ten und 3ten durchlesen verstehe ich es wieder nicht mehr. Irgendwie fehlt noch die Übung. Ich versuche noch ein weiteres Gesetz versuchen zu beweisen:
X \ (A [mm] \cap [/mm] B) = (X \ A) [mm] \cup [/mm] (X \ B)
Gruss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 Mi 26.09.2012 | | Autor: | Franhu |
| Aufgabe | | X \ (A [mm] \cap [/mm] B) = (X \ A) [mm] \cup [/mm] (X \ B) |
So nun stehe ich leider wieder an:
x [mm] \in [/mm] X \ (A [mm] \cap [/mm] B)
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X und [mm] \neg [/mm] (x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \in [/mm] B)
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X und (x [mm] \notin [/mm] A oder x [mm] \notin [/mm] B)
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] X und x [mm] \notin [/mm] A oder x [mm] \in [/mm] X und x [mm] \notin [/mm] B
[mm] \Rightarrow [/mm] (X \ A) [mm] \cup [/mm] (X \ B)
Ist dies so korrekt?
Danke und Gruss
Franhu
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> X \ (A [mm]\cap[/mm] B) = (X \ A) [mm]\cup[/mm] (X \ B)
> So nun stehe ich leider wieder an:
>
> x [mm]\in[/mm] X \ (A [mm]\cap[/mm] B)
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] X und [mm]\neg[/mm] (x [mm]\in[/mm] A und x [mm]\in[/mm] B)
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] X und (x [mm]\notin[/mm] A oder x [mm]\notin[/mm] B)
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] X und x [mm]\notin[/mm] A oder x [mm]\in[/mm] X und x
> [mm]\notin[/mm] B
> [mm]\Rightarrow[/mm] (X \ A) [mm]\cup[/mm] (X \ B)
>
> Ist dies so korrekt?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ja, das ist richtig.
Damit ist nun X \ (A [mm] $\cap$ [/mm] B) [mm] \subseteq [/mm] (X \ A) [mm] $\cup$ [/mm] (X \ B) gezeigt.
LG Angela
>
> Danke und Gruss
>
> Franhu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 Mi 26.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Franhu,
was Angela Dir am Ende sagen wollte:
> X \ (A [mm]\cap[/mm] B) = (X \ A) [mm]\cup[/mm] (X \ B)
> So nun stehe ich leider wieder an:
>
> x [mm]\in[/mm] X \ (A [mm]\cap[/mm] B)
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] X und [mm]\neg[/mm] (x [mm]\in[/mm] A und x [mm]\in[/mm] B)
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] X und (x [mm]\notin[/mm] A oder x [mm]\notin[/mm] B)
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm] $\red{\text{(}}$x[/mm] [mm]\in[/mm] X und x [mm]\notin[/mm] [mm] A$\red{\text{)}}$ [/mm] oder [mm] $\red{\text{(}}$x[/mm] [mm]\in[/mm] X und x [mm]\notin[/mm] [mm] B$\red{\text{)}}$ [/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm] $\red{\text{x } \in }$(X [/mm] \ A) [mm]\cup[/mm] (X \ B)
>
> Ist dies so korrekt?
alles okay (ich habe mal zwei - nicht unwichtige - Klammernpaare und
eine Kleinigkeit ergänzt), aber was ist mit der anderen
Teilmengenbeziehung?
(Wenn Du (später) geübt bist, kannst Du Dir dann überlegen, ob man
vielleicht jede Folgerung [mm] $\Rightarrow$ [/mm] auch "rückwärts" lesen
darf - also: Ob an den Stellen dann auch [mm] $\Leftarrow$ [/mm] (und damit
[mm] $\gdw$) [/mm] gilt!)
Gruß,
Marcel
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