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ich hab eine übungsaufgabe von der ersten vorlesung. mit A und B hab ich das ja verstanden
A [mm] \cup [/mm] B={x|x [mm] \in [/mm] A,x [mm] \in [/mm] B}
aber wie sieht es hier aus? was ist das Ergebnis?
[mm] \IN \cup \IZ
[/mm]
[mm] \IN \cap \IZ
[/mm]
vielen dank
Markus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:57 Mi 23.03.2005 | | Autor: | Max |
Hallo,
> aber wie sieht es hier aus? was ist das Ergebnis?
>
> [mm]\IN \cup \IZ
[/mm]
> [mm]\IN \cap \IZ
[/mm]
Du solltest dir noch einmal die ![[]](/images/popup.gif) Gesetzmäßigkeiten zu Vereinigungsmenge und Schnittmenge ansehen, weil zwischen [mm] $x\in [/mm] A$ und $x [mm] \in [/mm] B$ gehört entweder ein mathematisches Oder [mm] $\vee$ [/mm] bzw. ein Und [mm] $\wedge$.
[/mm]
Dann ist es ja auch leicht zu entscheiden, welche Zahlen gleichzeitig [mm] $x\in \IN$ [/mm] UND [mm] $x\in \IZ$ [/mm] bzw. welche Zahlen [mm] $x\in \IN$ [/mm] ODER [mm] $x\in \IZ$ [/mm] erfüllen.
Gruß Brackhaus
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[mm] \IN \cup \IZ [/mm] ist dann ausgeschrieben
[mm] \{x|x\in\IN \vee x\in\IZ\}
[/mm]
und
[mm] \IN \cap \IZ
[/mm]
[mm] \{x|x\in\IN \wedge x\in\IZ\}
[/mm]
laut wikipedia ist
A [mm] \cup [/mm] B
[mm] \{x \in \IX|x\in\ A \vee x\in\ B\}
[/mm]
also:
[mm] \IN \cup \IZ
[/mm]
[mm] \{x\in\IZ|x\in\IN \vee x\in\IZ\}
[/mm]
welche version ist in dem fall richtig?
kann ich nicht auch sagen:
[mm] \IN \cap \IZ
[/mm]
[mm] \{x\in \IZ\} [/mm] da
[mm] \IN [/mm] ja eh in [mm] \IZ [/mm] ist.
ich frage das für meine freundin, hab in meinem studium noch nie was mit Mengenlehre zu tun gehabt :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:32 Do 24.03.2005 | | Autor: | Marcel |
Hi Markus!
> [mm]\IN \cup \IZ[/mm] ist dann ebenfalls ausgeschrieben
> [mm]\{x|x\in\IN \vee x\in\IZ\}
[/mm]
Ja, das stimmt. Aber es gilt:
[mm] $(\IN \cup \IZ)=\IZ$, [/mm] denn (ich führe mal einen formalen Beweis):
Beweis:
[mm] "$\subseteq$" [/mm] Wir zeigen zunächst:
[mm] $(\IN \cup \IZ) \subseteq \IZ$. [/mm]
Sei dazu $x [mm] \in (\IN \cup \IZ)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
$x [mm] \in \IN$ [/mm] oder $x [mm] \in \IZ$. [/mm]
Ist nun $x [mm] \in \IN$, [/mm] so folgt wegen [mm] $\IN \subset \IZ$ [/mm] auch $x [mm] \in \IZ$. [/mm] Ist $x [mm] \in \IZ$, [/mm] so ist nichts mehr zu zeigen. Also gilt:
[mm] $(\IN \cup \IZ) \subseteq \IZ$.
[/mm]
[mm] "$\supseteq$" [/mm] Die Gültigkeit der Beziehung [mm] $\IZ \subseteq (\IN \cup \IZ)$ [/mm] ist offensichtlich!
Also gilt: [mm] $(\IN \cup \IZ)=\IZ$. $\Box$
[/mm]
> und
> [mm]\IN \cap \IZ
[/mm]
> [mm]\{x|x\in\IN \wedge x\in\IZ\}
[/mm]
Das stimmt auch. Aber ich behaupte:
[mm] $\IN \cap \IZ=\IN$. [/mm] Kannst du das nun selbst beweisen?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:57 Do 24.03.2005 | | Autor: | Markus_HNX |
ich fange an die sache langsam zu verstehen :)
den unterschied von [mm] \subset [/mm] und [mm] \subseteq [/mm] hab ich noch nicht ganz ergründet. bis dahin verstehe ich deinen beweis noch nicht 100% aber das wird glaub ich noch. vielleicht weiß meine freundin da besser bescheid.
[mm] \{x\in\IZ|x\in\IN \vee x\in\IZ\} [/mm] ist in dem fall eine doppelt gemoppelte aussage.
[mm] \{x|x\in\IN \vee x\in\IZ\} [/mm] ist da schon 'besser'
[mm] (\IN \cup \IZ)=\IZ [/mm] ist die kürzeste 'antwort'
und in der reihenfolge der 3 schritte lässt sich die lösung zu der hausaufgabe wohl hinschreiben, hoffe ich doch :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:50 Do 24.03.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Markus!
> ich fange an die sache langsam zu verstehen :)
![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
> den unterschied von [mm]\subset[/mm] und [mm]\subseteq[/mm] hab ich noch
> nicht ganz ergründet. bis dahin verstehe ich deinen beweis
> noch nicht 100% aber das wird glaub ich noch. vielleicht
> weiß meine freundin da besser bescheid.
Naja, üblicherweise bedeutet bei mir [mm] $\subset$ [/mm] und [mm] $\subseteq$ [/mm] das Gleiche, nämlich für zwei Mengen $A,B$:
$A [mm] \subset [/mm] B$ [mm] $\gdw$ [/mm] $A [mm] \subseteq [/mm] B$ [mm] $\gdw$ $\forall [/mm] x [mm] \in A:\;x \in [/mm] B$.
Ich benutze also üblicherweise [mm] $\subset$ [/mm] und [mm] $\subseteq$ [/mm] im gleichen Sinne.
In dieser Aufgabe habe ich aber ausnahmsweise mal [mm] $\subset$ [/mm] im Sinne des "echten Teilmenge-Zeichen's" benutzt.
Ich habe also [mm] $\IN \subset \IZ$ [/mm] geschrieben, weil gilt:
[mm] $\IN \subseteq \IZ$ [/mm] und [mm] $\IN \not=\IZ$.
[/mm]
Ich benutze normalerweise allerdings für das "echte Teilmenge-Zeichen" das Teilmengezeichen [mm] $\subset$ [/mm] mit einem durchgestrichenen Gleichheitszeichen [mm] $\not=$ [/mm] darunter:
[mm] $\stackrel{\subset}{\not=}$
[/mm]
Da ich dieses Zeichen aber im Formeleditor nicht explizit gefunden habe, habe ich halt (wie gesagt: ausnahmsweise) dafür jetzt dieses benutzt: [mm] $\subset$.
[/mm]
Also:
Bei meinem Beweis, den ich dir hier aufgeschrieben hatte, heißt [mm] $\IN \subset \IZ$ [/mm] nichts anderes als:
[mm] $\IN \stackrel{\subset}{\not=}\IZ$ [/mm] (du siehst, dass meine "Kreation" des Zeichens [mm] $\stackrel{\subset}{\not=}$ [/mm] in der Formel nicht besonders schön aussieht). Aber du darfst natürlich ohne weiteres das [mm] $\stackrel{\subset}{\not=}$-Zeichen [/mm] einfach durch [mm] $\subseteq$ [/mm] ersetzen, die Aussage [mm] $\IN \subseteq \IZ$ [/mm] bleibt trotzdem richtig, man betont dann halt nur nicht mehr, dass die Mengen [mm] $\IN$ [/mm] und [mm] $\IZ$ [/mm] ungleich sind bzw. das [mm] $\IZ$ [/mm] Elemente enthält, die nicht in [mm] $\IN$ [/mm] enthalten sind (es ist ja etwa $-1 [mm] \notin \IN$, [/mm] aber $-1 [mm] \in \IZ$!).
[/mm]
M.a.W.:
Für eine Menge $A$ ist die Aussage $A [mm] \subseteq [/mm] A$ eine wahre Aussage, jedoch wäre die Aussage $A [mm] \stackrel{\subset}{\not=}A$ [/mm] eine falsche Aussage...
>
> [mm]\{x\in\IZ|x\in\IN \vee x\in\IZ\}[/mm] ist in dem fall eine
> doppelt gemoppelte aussage.
Das ist in der Tat der Fall!
> [mm]\{x|x\in\IN \vee x\in\IZ\}[/mm] ist da schon 'besser'
Naja, im Prinzip gilt wegen [mm] $\IN \subset \IZ$ [/mm] (oder von mir aus [mm] $\IN \subseteq \IZ$) $\{x|x \in \IN \vee x \in \IZ\}=\{x|x \in \IZ\}=\IZ$.
[/mm]
> [mm](\IN \cup \IZ)=\IZ[/mm] ist die kürzeste 'antwort'
Ja, aber man sollte sowas immer beweisen. Und denke daran:
Sind $X$ und $Y$ zwei Mengen, so gilt:
$X=Y$
[mm] $\gdw$
[/mm]
$X [mm] \subseteq [/mm] Y$ und $Y [mm] \subseteq [/mm] X$!
> und in der reihenfolge der 3 schritte lässt sich die lösung
> zu der hausaufgabe wohl hinschreiben, hoffe ich doch :)
Also, mit diesen Überlegungen kannst du dann nachher zu der "Lösungsgleichung", wie ich sie angegeben hatte, gelangen. Und den Beweis, dass [mm] $(\IN \cup \IZ)=\IZ$ [/mm] gilt, hab ich (wie hier in dem fettgedruckten angedeutet) in zwei Schritten geführt:
1. Schritt:
Ich habe gezeigt: [mm] $(\IN \cup \IZ)\subseteq \IZ$
[/mm]
2. Schritt:
Ich habe gezeigt: [mm] $\IZ\subseteq (\IN \cup \IZ)$
[/mm]
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:25 Do 24.03.2005 | | Autor: | Markus_HNX |
danke dir, hast und sehr geholfen :)
gruß
Markus
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