Mengenoperation Beweis < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:47 Sa 27.10.2012 | | Autor: | Melisa |
| Aufgabe | Hallo Freunde :),
ich versuche grade Mathe-Aufgabe zu loesen aber...:(
die lautet:
Beweisen Sie, dass (M1 [mm] \backslash [/mm] M2) [mm] \cup [/mm] M2 = M1 genau dann gilt wenn M2 [mm] \subset [/mm] M1. |
Kann mir jemand nen Weg zeigen, mit was ich anfangen soll?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:06 So 28.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Melisa,
zu zeigen ist eine "genau-dann-wenn-Aussage". Standardverfahren: Beide Richtungen getrennt zeigen.
[mm] "$\Rightarrow$": [/mm] Gelte $(M1 [mm] \backslash [/mm] M2) [mm] \cup [/mm] M2 = M1$ (*).
Zu zeigen ist [mm] $M2\subseteq [/mm] M1$.
Nach (*) genügt es dafür, [mm] $M2\subseteq (M1\setminus M2)\cup [/mm] M2$ zu zeigen.
Den Rest der Hinrichtung überlasse ich dir.
[mm] "$\Leftarrow$": [/mm] Gelte [mm] $M2\subseteq [/mm] M1$.
Zu zeigen ist $(M1 [mm] \backslash [/mm] M2) [mm] \cup [/mm] M2 = M1$.
Auch das überlasse ich erstmal dir, denn wie man die Gleichheit zweier Mengen zeigt, hatten wir ja schon mal. 
Viel Erfolg!
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:47 So 28.10.2012 | | Autor: | Melisa |
Hallo Tobias :)
Wenn ich behaupte dass,
x [mm] \in [/mm] (M1 [mm] \backslash [/mm] M2) [mm] \cup [/mm] M2, dann folgt daraus dass
x [mm] \in [/mm] (M1 [mm] \backslash [/mm] M2) oder x [mm] \in [/mm] M2
wenn x [mm] \in [/mm] (M1 [mm] \backslash [/mm] M2) => x [mm] \in [/mm] M1 und x [mm] \not\in [/mm] M2
und was hab ich dann, x [mm] \not\in [/mm] M2 und x [mm] \in [/mm] M1 daraus folgt doch dass M2 nich die Teilmenge M1 ist. Oder hab ich grad Dummheit geschrieben?? :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:01 So 28.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Wo bist du gerade? Bei der Hin- oder Rückrichtung? Oder bei einem allgemeinen Problem?
> Wenn ich behaupte dass,
> x [mm]\in[/mm] (M1 [mm]\backslash[/mm] M2) [mm]\cup[/mm] M2, dann folgt daraus dass
> x [mm]\in[/mm] (M1 [mm]\backslash[/mm] M2) oder x [mm]\in[/mm] M2
> wenn x [mm]\in[/mm] (M1 [mm]\backslash[/mm] M2) => x [mm]\in[/mm] M1 und x [mm]\not\in[/mm]
> M2
> und was hab ich dann, x [mm]\not\in[/mm] M2 und x [mm]\in[/mm] M1
Bis hierhin korrekt.
> daraus folgt doch dass M2 nich die Teilmenge M1 ist.
Wenn so ein [mm] $x\in M1\setminus [/mm] M2$ existiert, folgt, dass [mm] $M1\not=M2$ [/mm] gilt.
Leider hilft Letzteres für die Lösung der Aufgabe nicht weiter...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:21 So 28.10.2012 | | Autor: | Melisa |
| Aufgabe | Ehrlich gesagt ich weiss es auch nicht wo ich bin und was ich will. Ich verstehe von der Aufgabe gar nix und bin totaaal kaputt. Und ja Tobias ich habe noch eine Frage wenn z.B A={1,2,3} und B={1,2,3} was ist A \ B? Leeremenge Oder?? Und noch eine Frage
was ist Leeremenge \ A ? Danke im Voraus :* |
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:40 So 28.10.2012 | | Autor: | Melisa |
Ich danke dir fuer alles, fuer deine Hilfe. Wuensch ich dir gute Nacht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:43 So 28.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Danke, dir auch gute Nacht!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:42 Di 30.10.2012 | | Autor: | Melisa |
Hallo Tobias, wie geht,s?:)
ich moechte was bitten und zwar
bitte wenn du Zeit hast kannst du fuer mich meine Aufgabe letzte Aufgabe loesen?? Morgen muss ich mein Uebungsblatt abgeben und nur diese Aufgabe hab ich noch zu loesen. Bitte bitte bitte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:58 Di 30.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Melisa,
> ich moechte was bitten und zwar
> bitte wenn du Zeit hast kannst du fuer mich meine Aufgabe
> letzte Aufgabe loesen?? Morgen muss ich mein Uebungsblatt
> abgeben und nur diese Aufgabe hab ich noch zu loesen. Bitte
> bitte bitte
Netter Versuch... Sorry, aber fertige Lösungen liefere ich normalerweise nicht.
Woran hakt es denn?
Ich schrieb ja schon den Rahmen:
[mm] "$\Rightarrow$": [/mm] Gelte $(M1 [mm] \backslash [/mm] M2) [mm] \cup [/mm] M2 = M1$ (*).
Zu zeigen ist [mm] $M2\subseteq [/mm] M1$.
Nach (*) genügt es dafür, [mm] $M2\subseteq (M1\setminus M2)\cup [/mm] M2$ zu zeigen.
Vergiss meinetwegen den Rest der Aufgabe und füge hier einen Beweis von [mm] $M2\subseteq (M1\setminus M2)\cup [/mm] M2$ ein. Ich bin überzeugt, dass du das hinkriegst! Ansonsten: Woran scheitert es?
[mm] "$\Leftarrow$": [/mm] Gelte [mm] $M2\subseteq [/mm] M1$.
Zu zeigen ist $(M1 [mm] \backslash [/mm] M2) [mm] \cup [/mm] M2 = M1$.
Starte mal mit dem Beweis der Teilmengenbeziehung [mm] $M1\subseteq (M1\setminus M2)\cup [/mm] M2$. Auch hier kannst du den Aufgabenkontext getrost außer Acht lassen.
Du wirst dazu mit "Sei [mm] $x\in [/mm] M1$." starten. Führe dann eine Fallunterscheidung nach [mm] $x\in [/mm] M2$ bzw. [mm] $x\not\in [/mm] M2$ durch und zeige in beiden Fällen [mm] $x\in (M1\setminus M2)\cup [/mm] M2$.
Für den Beweis von [mm] $(M1\setminus M2)\cup M2\subseteq [/mm] M1$ wirst du mit "Sei [mm] $x\in (M1\setminus M2)\cup [/mm] M2$." starten. [mm] $x\in(M1\setminus M2)\cup [/mm] M2$ bedeutet: ... oder ... . Zeige in beiden Fällen getrennt [mm] $x\in [/mm] M1$. Im einem der beiden Fälle wirst du die Voraussetzung [mm] $M2\subseteq [/mm] M1$ benötigen.
Viel Erfolg!
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:09 Di 30.10.2012 | | Autor: | Melisa |
Gibt es hier irgenjemand der mir einfach eine Loesung zu meiner Aufgabe gibt und detalliert erklaert, schon Lange versuche ich diese Aufgabe zu loesen aber leider leeider kann ich nicht :(:(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:18 Di 30.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Gibt es hier irgenjemand der mir einfach eine Loesung zu
> meiner Aufgabe gibt und detalliert erklaert, schon Lange
> versuche ich diese Aufgabe zu loesen aber leider leeider
> kann ich nicht :(:(
Woran hakt es denn? Was hast du mit meinen Hinweisen bisher getan?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:38 Di 30.10.2012 | | Autor: | Melisa |
| Aufgabe | Also
[mm] M2\subset(M1 \backslash [/mm] M2) [mm] \cup [/mm] M1 |
wenn x [mm] \in [/mm] M2(ich meine linke M2) => [mm] x\in(M1 \backslash [/mm] M2) oder
x [mm] \in [/mm] M"
1.Fall [mm] x\in(M1 \backslash [/mm] M2) folgt doch daraus dass x muss Element von M1 sein und kein Element von M2, aber am Anfang hab ich zugelassen dass [mm] x\in [/mm] M2 ist
2.Fall [mm] x\in [/mm] M2(rechte M2) => M2 [mm] \subset [/mm] M2, also ich weiss es nie mehr, irgendwas verstehe ich net und hab ich kein bock mehr. Gebe ich morgen mein Uebungsblatt ohne diese Aufgabe ab und das war's
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:56 Di 30.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> [mm]M2\subset(M1 \backslash[/mm] M2) [mm]\cup[/mm] M1
Ganz rechts meinst du sicherlich M2 statt M1.
> wenn x [mm]\in[/mm] M2(ich meine linke M2) => [mm]x\in(M1 \backslash[/mm]
> M2) oder x [mm]\in[/mm] M"
Hier meinst du sicherlich ebenfalls ganz rechts M2.
Genau! Wenn [mm] $x\in [/mm] M2$ gilt, dann erst recht [mm]x\in(M1 \backslash[/mm]M2) oder x [mm]\in[/mm] M2.
Also [mm] $x\in (M1\setminus M2)\cup [/mm] M2$.
Das war schon der Beweis von [mm] $M2\subseteq (M1\setminus M2)\cup [/mm] M2$.
> also ich weiss
> es nie mehr, irgendwas verstehe ich net
Kannst du an der Aufgabenstellung oder an meiner Beweisübersicht hier festmachen, woran das liegt? Dann könnte ich versuchen, die Unklarheiten zu beseitigen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:42 Mi 31.10.2012 | | Autor: | Melisa |
Alsoo jetzt hab ich was geschrieben :)
Gelte (M1 [mm] \backslash [/mm] M2) [mm] \cup [/mm] M2 = M1 (*)
Zz. M2 [mm] \subset [/mm] M1.
Nach (*) genuegt es dafuer M2 [mm] \subset [/mm] (M1 [mm] \backslash [/mm] M2) [mm] \cup [/mm] M2
Sei x [mm] \in [/mm] M2
=> x [mm] \in [/mm] (M1 [mm] \backslash [/mm] M2) oder x [mm] \in [/mm] M2
also x [mm] \in [/mm] (M1 [mm] \backslash [/mm] M2) [mm] \cup [/mm] M2
=>M2 [mm] \subset [/mm] (M1 [mm] \backslash [/mm] M2) [mm] \cup [/mm] M2
Gelte M2 [mm] \subset [/mm] M1.
Zz. (M1 [mm] \backslash [/mm] M2) [mm] \cup [/mm] M2 = M1
M1 [mm] \subset [/mm] (M1 [mm] \backslash [/mm] M2) [mm] \cup [/mm] M2
Sei x [mm] \in [/mm] M1 und sei x [mm] \in [/mm] M2
=> x [mm] \in [/mm] (M1 [mm] \backslash [/mm] M2) [mm] \cup [/mm] M2
=> M1 [mm] \subset [/mm] (M1 [mm] \backslash [/mm] M2) [mm] \cup [/mm] M2
Sei x [mm] \in [/mm] M1 und x [mm] \not\in [/mm] M2
=>x [mm] \in [/mm] (M1 [mm] \backslash [/mm] M2)
=> x [mm] \in [/mm] (M1 [mm] \backslash [/mm] M2) [mm] \cup [/mm] M2
=>M1 [mm] \subset [/mm] (M1 [mm] \backslash [/mm] M2) [mm] \cup [/mm] M2
(M1 [mm] \backslash [/mm] M2) [mm] \cup [/mm] M2 [mm] \subset [/mm] M1
Sei x [mm] \in [/mm] (M1 [mm] \backslash [/mm] M2) [mm] \cup [/mm] M2
=> x [mm] \in [/mm] (M1 [mm] \backslash [/mm] M2) oder x [mm] \in [/mm] M2
Falls x [mm] \in [/mm] (M1 [mm] \backslash [/mm] M2) => x [mm] \in [/mm] M1 und x [mm] \not\in [/mm] M2
=> (M1 [mm] \backslash [/mm] M2) [mm] \cup [/mm] M2 [mm] \subset [/mm] M1
Falls x [mm] \in [/mm] M2: wenn M2 [mm] \subset [/mm] M1 gild dann ist x [mm] \in [/mm] M1
=> M2 [mm] \subset [/mm] M1
=> (M1 [mm] \backslash [/mm] M2) [mm] \cup [/mm] M2 [mm] \subset [/mm] M1
ist das richtiig???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:26 Mi 31.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Melisa,
> Alsoo jetzt hab ich was geschrieben :)
> Gelte (M1 [mm]\backslash[/mm] M2) [mm]\cup[/mm] M2 = M1 (*)
> Zz. M2 [mm]\subset[/mm] M1.
> Nach (*) genuegt es dafuer M2 [mm]\subset[/mm] (M1 [mm]\backslash[/mm] M2)
> [mm]\cup[/mm] M2
darf ich dazu kurz was anmerken:
Ich weiß, dass Du das von Tobias hast. Aber schau' doch mal, was
Du eigentlich nur zu zeigen hast, wenn Du
[mm] $$M_2 \subseteq (M_1 \setminus M_2) \cup M_2$$
[/mm]
zeigen willst.
Allgemeiner formuliert steht da sowas wie, dass Du für zwei
Mengen [mm] $R,S\,$ [/mm] zeigen willst, dass
$$R [mm] \subseteq [/mm] (S [mm] \cup [/mm] R)$$
gilt. Der Beweis für sowas ist ein Einzeiler:
Für alle $x [mm] \in [/mm] R$ gilt auch $x [mm] \in [/mm] S$ oder $x [mm] \in R\,.$
[/mm]
Damit Du das auch wirklich siehst:
Setze [mm] $R:=M_2\,$ [/mm] und [mm] $S:=M_1 \setminus M_2\,.$
[/mm]
P.S. Und mach' Dir keine Sorgen: Ich bin geübt darin, so etwas zu sehen!
Und ich weiß, dass man am Anfang an der Uni von so manchen
"Mengenoperationen" verwirrt ist und da mehr reininterpretiert, als
nötig. Irgendwann wirst Du mit sowas "lockerer" rechnen und auch die
Dinge schneller sehen - alles eine Frage der Übung!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:18 Mi 31.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Melisa,
ich habe so ein wenig die Vermutung, dass ich sehe, was Dir unklar ist:
Aufgabe:
> Beweisen Sie, dass (M1 $ [mm] \backslash [/mm] $ M2) $ [mm] \cup [/mm] $ M2 = M1 genau dann
> gilt wenn M2 $ [mm] \subset [/mm] $ M1.
1. Richtung [mm] "$\Rightarrow$": [/mm] Man soll zeigen, dass aus
der Voraussetzung, dass
[mm] $$(\*)\;\;\;(M_1 \setminus M_2) \cup M_2=M_1$$ [/mm]
gilt
(d.h., diese Gleichung wird als gültig vorausgesetzt!), man folgern
kann, dass [mm] $M_2 \subseteq M_1$ [/mm] ist.
(Mein [mm] $\subseteq$ [/mm] schreibt ihr nur als [mm] $\subset\,,$ [/mm] sowas kannst Du
aber selbst ersetzen!)
Der Beweis dazu ist einfach: Für jedes $x [mm] \in M_2$ [/mm] (Du kannst auch sagen: Nehmen wir IRGENDEIN $x [mm] \in M_2$ [/mm] her, so) gilt, dass auch
$x [mm] \in M_2$ [/mm] oder $x [mm] \in (M_1 \setminus M_2)$ [/mm] liegt, also folgt, dass $x [mm] \in M_2 \cup (M_1 \setminus M_2)\,.$
[/mm]
Nach VORAUSSETZUNG dürfen wir hier nun aber [mm] $(\*)$ [/mm] verwenden - was
folgt nun?
2. Richtung [mm] "$\Leftarrow$": [/mm] Hier gilt nun die
VORAUSSETZUNG: Es ist [mm] $M_2 \subseteq M_1\,.$
[/mm]
Wenn wir [mm] $(M_1 \setminus M_2) \cup M_2=M_1$ [/mm] zeigen wollen, haben
wir unter dieser Voraussetzung nun zwei Dinge zu zeigen:
a) [mm] $(M_1 \setminus M_2) \cup M_2 \subseteq M_1$
[/mm]
UND
b) [mm] $(M_1 \setminus M_2) \cup M_2 \supseteq M_1$
[/mm]
Zu a): Nehmen wir irgendein $x [mm] \in (M_1 \setminus M_2) \cup M_2$ [/mm] her.
Dann gibt es zwei (durch "oder" getrennte) Fälle (beachte: das
mathematische "oder" ist ein 'und-oder'):
1. Fall: $x [mm] \in M_1 \setminus M_2\,.$ [/mm] Schreib' Dir hin, was das bedeutet,
und es ist $x [mm] \in M_1$ [/mm] offensichtlich.
oder
2. Fall: $x [mm] \in M_2$: [/mm] Hier ist es doch wunderbar, dass wir nach
Voraussetzung [mm] $M_2 \subseteq M_1$ [/mm] wissen. Denn das liefert sofort was?
Zu b): Sei nun IRGENDEIN $x [mm] \in M_1$ [/mm] hergenommen. Mach' Dir mal an
einem Venndiagramm klar, was [mm] $M_2 \subseteq M_1$ [/mm] bedeutet. Denn
dann "siehst Du sogar", dass hier, weil ja [mm] $M_2 \subseteq M_1$ [/mm] nach
Voraussetzung als gültig angenommen wird, dass die Aussage, dass
entweder gilt
(I) $x [mm] \in M_1$ [/mm] und $x [mm] \in M_2$
[/mm]
oder es gilt
(II) $x [mm] \in M_2$ [/mm] und $x [mm] \notin M_2$
[/mm]
einfach übergeht in
entweder gilt
(III) $x [mm] \in M_2$
[/mm]
oder es gilt
(IV) $x [mm] \in M_1 \setminus M_2\,.$
[/mm]
Denn das (II) und (IV) das gleiche bedeuten, folgt nach Definition der
Mengendifferenz. Und das hier (I) und (III) das gleiche bedeuten, folgt,
weil nach Voraussetzung [mm] $M_2 \subseteq M_1$ [/mm] gilt:
Daraus (also aus der Voraussetzung [mm] $M_2 \subseteq M_1$) [/mm] ergibt sich
nämlich, dass $x [mm] \in M_2 \cap M_1$ [/mm] genau dann gilt, wenn $x [mm] \in M_2\,.$
[/mm]
P.S. Das hier ist schon fast sowas wie eine Musterlösung - Du solltest sie
aber dennoch nicht so abschreiben, weil man Dir das direkt nachweisen
können wird. Versuch' mal, damit nun eigenständig eine Lösung
hinzuschreiben.
Und wichtig: Schreib' Dir bei jeder der Richtungen [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] bzw.
[mm] "$\Leftarrow$" [/mm] vielleicht mal detailliert auf:
Was gilt bei dieser Richtung nach Voraussetung? (= Was darf ich
VERWENDEN?)
und
Was will ich zeigen? (=Was ist unter den Dingen, die ich verwenden darf,
dann zu beweisen?)
Ich mach' Dir das Schema mal an einem anderen Beispiel klar:
Ich will etwa zeigen:
Sei $x [mm] \ge [/mm] 0$ (universelle Voraussetzung - das dürfen wir im Folgenden
IMMER verwenden!).
Behauptung: Dann gilt [mm] $x^2=9$ [/mm] genau dann, wenn [mm] $x=3\,.$
[/mm]
Beweis:
[mm] "$\Rightarrow$"
[/mm]
Voraussetzung ist: Hier gilt [mm] $x\ge [/mm] 0$ (universelle Voraussetzung) und
es gilt [mm] $x^2=9\,.$
[/mm]
Was wird behauptet? Behauptung: Dann muss [mm] $x=3\,$ [/mm] sein.
Beweis dieser Richtung: Nach Voraussetzung gilt [mm] $x^2=9\,.$ [/mm] Daraus folgt
[mm] $x^2-9=0 \gdw (x+3)*(x-3)=0\,.$ [/mm] Nun folgt, dass [mm] $x=3\,$ [/mm] oder $x=-3$
gelten muss, weil ein Produkt genau dann Null wird, wenn mindestens
einer der Faktoren Null wird. Weil aber [mm] $-3\,$ [/mm] nicht die universelle
Voraussetzung $x [mm] \ge [/mm] 0$ erfüllt, bleibt nur [mm] $x=3\,.$
[/mm]
[mm] "$\Leftarrow$"
[/mm]
Voraussetzung ist: Hier gilt $x [mm] \ge [/mm] 0$ (universelle Voraussetzung) und
es gilt [mm] $x=3\,.$ [/mm] (Diese Voraussetzungen widersprechen sich NICHT
gegenseitig!)
Was wird behauptet? Behauptung: Dann muss [mm] $x^2=9\,$ [/mm] sein.
Beweis dieser Richtung: Für [mm] $x=3\,$ [/mm] ist $x [mm] \ge [/mm] 0$ und es gilt dann
auch
[mm] $$x^2=3^2=3*3=9\,,$$
[/mm]
was zu zeigen war. [mm] $\Box$
[/mm]
Ich hoffe, Du erkennst ein wenig, wie man, wenn man noch nicht so geübt
in Beweisen ist, sie dennoch ganz penibel und detailliert aufbauen kann,
so dass man selbst nach und nach erkennt, was man zu tun hat.
Später wirst Du das vielleicht nicht mehr ganz so detailliert machen, weil
Du einfach geübt bist und auch einen besseren Blick haben wirst. Aber
das ist normal, dass man anfangs da vielleicht so etwas erst nochmal
von jemanden ganz ausführlich gezeigt bekommen muss - weil es an
der Uni halt nicht immer selbstverständlich ist, dass das mal jemand so
detailliert macht! (Ich muss aber zugeben, dass ich das selbst auch
erst so machen würde, wenn mich jmd. drauf anspricht. Ich hatte halt
auch ein wenig das "Glück", dass mein Mathelehrer in der Oberstufe
da schon so penibel alles hingeschrieben hatte und ich das quasi schon
in manchen Dingen von der Schule her geübt war. Im Studium war mir
das gar nicht so bewußt, dass das nicht überall selbstverständlich ist!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:16 Mi 31.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Melisa,
ich habe mal gerade mitgelesen:
> Ehrlich gesagt ich weiss es auch nicht wo ich bin und was
> ich will. Ich verstehe von der Aufgabe gar nix und bin
> totaaal kaputt. Und ja Tobias ich habe noch eine Frage wenn
> z.B A={1,2,3} und B={1,2,3} was ist A \ B?
schau' mal:
$$A [mm] \setminus B=\{a \in A: a \notin B\}\,,$$
[/mm]
d.h., dass $A [mm] \setminus [/mm] B$ aus genau den Elementen von [mm] $A\,$ [/mm] besteht,
die (bzgl. der beiden Mengen [mm] $A,B\,$) [/mm] alleine in [mm] $A\,$ [/mm] liegen (also
nicht auch Bestandteil von [mm] $B\,$ [/mm] sind).
Für manche ist es einfacher, wenn man sich
$$A [mm] \setminus [/mm] B$$
umschreibt zu
$$A [mm] \setminus [/mm] (A [mm] \cap B\,.)$$
[/mm]
(Beweis, dass $A [mm] \setminus [/mm] B=A [mm] \setminus [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B)$ gilt? Zur
"Intuition" veranschauliche Dir das vll. mal an einem Venn-Diagramm...)
Letzteres kann man nämlich so interpretieren:
Wenn wir $A':=A [mm] \setminus [/mm] B$ setzen, so "entsteht" wegen $A [mm] \setminus [/mm] B=A [mm] \setminus [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B)$ dann [mm] $A'\,,$ [/mm] indem wir zuerst [mm] $A'\,$ [/mm] als eine
Kopie von [mm] $A\,$ [/mm] ansehen (aber $A'$ wird gleich verändert - sehe es als
"temporäre Menge" an, wir sagen irgendwann, wann sie "fertiggestellt"
ist), nun die Schnittmenge
$$A [mm] \cap [/mm] B$$
berechnen, und diese Elemente aus [mm] $A'\,$ [/mm] entfernen.
Beispiel:
[mm] $A:=\{1,3,4,5,7\}$ [/mm] und [mm] $B:=\{2,3,5,19,20\}\,.$
[/mm]
Wie findet man $A [mm] \setminus [/mm] B$?
1. Lege [mm] $A'=\{1,3,4,5,7\}$ [/mm] an.
2. Bilde $A [mm] \cap B=\{3,5\}\,.$
[/mm]
3. Suche die Elemente aus $A [mm] \cap [/mm] B$ in $A'$ und entferne diese dann:
[mm] $A'=\{1,\red{3},4,5,7\} \to A'=\{1,4,5,7\} \to \{1,4,\red{5},7\} \to \{1,4,7\}$ [/mm] (wir sind fertig, weil wir [mm] $B\,$ [/mm] "komplett durchlaufen" haben)
4. Das verbleibende [mm] $A'=\{1,4,7\}$ [/mm] ist $A [mm] \setminus B\,.$
[/mm]
Wenn Du morgen magst, schreibe mal $B [mm] \setminus [/mm] A$ hin.
P.S. Es gibt einen Grund, warum man in der Mathematik das nicht so
algorithmisch vorführt, wie ich es hier getan habe. Denn meistens sind
die Mengen nicht endlich, geschweige denn abzählbar... nichtsdestotrotz
hilft das vielleicht, sich mal ein wenig mehr "der Methodik" bewußt zu
werden.
Anderes Beispiel:
[mm] $A=(1,\infty)$ [/mm] und [mm] $B=(0,2]\,.$ [/mm] Dann ist $A [mm] \cap [/mm] B=(1,2]$ und damit
$$A [mm] \setminus [/mm] B=A [mm] \setminus [/mm] (A [mm] \cap B)=(1,\infty) \setminus (1,2]=(2,\infty)\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]"){kind=small}
, dass ich gestern schon im Bett war! Ich sah, dass du (anscheinend nur kurzzeitig) nicht mehr im Matheraum warst und dachte, es würde von dir nichts mehr kommen.
