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| Aufgabe | Seien A1, A2, B1 und B2 Mengen. Beweisen Sie die folgenden Aussagen.
a) Wenn A1 [mm] \subseteq [/mm] B1 und A2 [mm] \subseteq [/mm] B2 gilt, dann gilt auch A1 [mm] \cup [/mm] A2 [mm] \subseteq [/mm] B1 [mm] \cup [/mm] B2
b) Aus A1 [mm] \cup [/mm] A2 [mm] \subseteq [/mm] B1 [mm] \cup [/mm] B2 folgt nicht A1 [mm] \subseteq [/mm] B1 oder A2 [mm] \subseteq [/mm] B2 |
Hallo zusammen,
ich hab jetzt das erste Mal mit so etwas zu tun und ehrlich gesagt, weiß ich nicht genau wie so etwas gelöst werden soll und wie man das am besten macht. Ich hab natürlich trotzdem einen Ansatz, den ich dementsprechend hier zur Diskussion stellen würde, um zu hören wo es hakt oder was man besser machen könnte.
Fragen:
ist das so korrekt? (inhaltlich, Ausführung)
a)
Annahme: A1 [mm] \cup [/mm] A2 = {x l x [mm] \in [/mm] A1 oder x [mm] \in [/mm] A2}
Es gibt daher zwei Fälle: x [mm] \in [/mm] A1 und x [mm] \in [/mm] A2
Wenn x [mm] \in [/mm] A1 und A1 [mm] \subseteq [/mm] B1 -> x [mm] \subseteq [/mm] B1
Wenn x [mm] \in [/mm] A1 und A2 [mm] \subseteq [/mm] B2 -> x [mm] \subseteq [/mm] B1
--> x [mm] \subseteq [/mm] B1 [mm] \cup [/mm] B2 wenn x [mm] \in [/mm] A1 oder x [mm] \in [/mm] A2
--> A1 [mm] \cup [/mm] A2 [mm] \subseteq [/mm] B1 [mm] \cup [/mm] B2
b)
habe ich noch nicht umgesetzt, würde ich aber so herangehen, dass ich zeige, dass A1 sowohl Teilmenge von B1 als auch von B2 sein kann und A2 analog sowohl von B1 und B2 -> wäre das ausreichend und sinnvoll? Gibt es hier Tipps?
Herzlichen Dank an alle, die sich das für mich anschauen und Hilfestellungen geben.
LG Baumschuelerin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:26 Fr 21.10.2016 | | Autor: | hippias |
> Seien A1, A2, B1 und B2 Mengen. Beweisen Sie die folgenden
> Aussagen.
> a) Wenn A1 [mm]\subseteq[/mm] B1 und A2 [mm]\subseteq[/mm] B2 gilt, dann
> gilt auch A1 [mm]\cup[/mm] A2 [mm]\subseteq[/mm] B1 [mm]\cup[/mm] B2
>
> b) Aus A1 [mm]\cup[/mm] A2 [mm]\subseteq[/mm] B1 [mm]\cup[/mm] B2 folgt nicht A1
> [mm]\subseteq[/mm] B1 oder A2 [mm]\subseteq[/mm] B2
> Hallo zusammen,
>
> ich hab jetzt das erste Mal mit so etwas zu tun und ehrlich
> gesagt, weiß ich nicht genau wie so etwas gelöst werden
> soll und wie man das am besten macht. Ich hab natürlich
> trotzdem einen Ansatz, den ich dementsprechend hier zur
> Diskussion stellen würde, um zu hören wo es hakt oder was
> man besser machen könnte.
>
> Fragen:
> ist das so korrekt? (inhaltlich, Ausführung)
>
> a)
> Annahme: A1 [mm]\cup[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
A2 = {x l x [mm]\in[/mm] A1 oder x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
A2}
"Annahme" ist hier eine ungünstige Ausdruckweise: mir signalisiert das Wort, dass nun ein Widerspruchsbeweis folgt. Schreibe eher dafür "nach Definition gilt".
> Es gibt daher zwei Fälle: x [mm]\in[/mm] A1 und x [mm]\in[/mm] A2
Das ist wohl richtig gemeint, doch die Frage ist, was mit dem $x$ auf sich hat. Um die Richtigkeit der Aussage zu zeigen, muss nachgewiesen werden, dass jedes [mm] $x\in A_{1}\cup A_{2}$ [/mm] in der Menge [mm] $B_{1}\cup B_{2}$ [/mm] liegt - dies ist die Definition der Teilmenge. Dazu sei [mm] $x\in A_{1}\cup A_{2}$ [/mm] gewählt. Jetzt kommt Deine Fallunterscheidung...
> Wenn x [mm]\in[/mm] A1 und A1 [mm]\subseteq[/mm] B1 -> x [mm]\subseteq[/mm] B1
Ich würde es so schreiben: wenn [mm] $x\in A_{1}$ [/mm] gilt, so folgt aus der Voraussetzung [mm] $A_{1}\subseteq B_{1}$, [/mm] dass [mm] $x\in B_{1}$ [/mm] ist.
Das [mm] A_{1}\subseteq B_{1}$ [/mm] hinter dem Wort "wenn" erweckt bei mir den Eindruck, als wäre es nicht sicher, ob [mm] $A_{1}\subseteq B_{1}$ [/mm] ist.
> Wenn x [mm]\in[/mm] A1 und A2 [mm]\subseteq[/mm] B2 -> x [mm]\subseteq[/mm] B1
s.o.
> --> x [mm]\subseteq[/mm] B1 [mm]\cup[/mm] B2 wenn x [mm]\in[/mm] A1 oder x [mm]\in[/mm] A2
> --> A1 [mm]\cup[/mm] A2 [mm]\subseteq[/mm] B1 [mm]\cup[/mm] B2
In Ordnung.
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> b)
> habe ich noch nicht umgesetzt, würde ich aber so
> herangehen, dass ich zeige, dass A1 sowohl Teilmenge von B1
> als auch von B2 sein kann und A2 analog sowohl von B1 und
> B2 -> wäre das ausreichend und sinnvoll? Gibt es hier
> Tipps?
Nein, das wäre nicht sinnvoll. Du sollst konkrete Beispiele von Mengen angeben, sodass [mm] $A_{1}\cup A_{2}\subseteq B_{1}\cup B_{2}$ [/mm] gilt, aber nicht [mm] $A_{1}\cup B_{1}$ [/mm] und nicht [mm] $A_{2}\cup B_{2}$. [/mm] Wenn es Dir hilft, dann gebe ich einfach einmal [mm] $A_{1}= \{1\}$ [/mm] und [mm] $A_{2}=\{2\}$ [/mm] vor.
Noch ein Tip zum Abschluss: gewöhne Dich an Latex.
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> Herzlichen Dank an alle, die sich das für mich anschauen
> und Hilfestellungen geben.
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> LG Baumschuelerin
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