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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:32 Sa 26.07.2008 | | Autor: | malibu06 |
| Aufgabe | Geg: [mm] $P(A\cup B\cup [/mm] C)=0.9$ , [mm] $P(A\cup [/mm] B)=0.85$ , [mm] $P(A\cup [/mm] C)=0.75$ , [mm] $P(B\cup [/mm] C)=0.80$
Wie groß ist die W'keit für genau eines dieser Ereignisse?
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Hi,
ich schreib am Montag Statistik und bin im letzten Versuch, hab da noch son Problem mit dieser Aufgabe.
Kann mir jemand den kompletten Rechenweg aufschreiben, ich versuchs schon so lange, schaffs aber nicht!
Danke!!
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:http://statistikforum.foren-city.de/topic,2701,-mengenlehre.html
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> Geg: [mm]P(A\cup B\cup C)=0.9[/mm] , [mm]P(A\cup B)=0.85[/mm] , [mm]P(A\cup C)=0.75[/mm]
> , [mm]P(B\cup C)=0.80[/mm]
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> Wie groß ist die W'keit für genau eines dieser Ereignisse?
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> Hi,
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> ich schreib am Montag Statistik und bin im letzten Versuch,
> hab da noch son Problem mit dieser Aufgabe.
> Kann mir jemand den kompletten Rechenweg aufschreiben, ich
> versuchs schon so lange, schaffs aber nicht!
>
Betrachte eine Zerlegung von [mm] $A\cup B\cup [/mm] C$ in 7 paarweise disjunkte Teilmengen (Teilereignissen) mit zugehörigen Wahrscheinlichkeiten $a,b,c,d,e,f,g$:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dann muss, mit der Abkürzung $x=a+b+c+d$, aufgrund der gegebenen Wahrscheinlichkeiten folgendes Gleichungssystem für $x,e,f,g$ gelten: $x+e+f=0.85$, $x+e+g=0.75$, $x+f+g=0.8$ und $x+e+f+g=0.9$. Mit der eindeutig bestimmten Lösung $x=0.6, e=0.1, f=0.15$ und $g=0.05$.
Das heisst: $x$ wird zwar durch die Angaben der Aufgabenstellung eindeutig festgelegt, nicht aber dessen Zerlegung in eine Summe $a+b+c+d$. Mit anderen Worten: Ich bin der Ansicht, dass diese Aufgabe keine eindeutig bestimmte Lösung hat, denn wie man $x=0.6$ genau in eine Summe $a+b+c+d$ mit [mm] $a,b,c,d\geq [/mm] 0$ zerlegt, wirkt sich auf die gesuchten Werte von $P(A)$, $P(B)$ und $P(C)$ aus.
Aufgrund der obenstehenden Überlegung kann man aber natürlich die geeignet parametrisierte Menge aller möglichen Lösungen $P(A),P(B),P(C)$ angeben...
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Sa 26.07.2008 | | Autor: | malibu06 |
Vielen Dank erstmal für Deine Antwort!
Wenn man von Unabhängigkeit ausgeht, dann ist die Lösung einfach, nämlich: P(A)*P(B)*P(C)=0,51
Aber davon steht nichts in der Aufgabenstellung. Kann man anhand der gegebenen Informationen ermitteln, ob es sich hierbei um stochastisch unabhängige Mengen handelt? Man müsste irgendwie die Schnittmengen ausrechnen, mir fällt aber keine Regel ein, durch die man das tuen könnte.
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> Vielen Dank erstmal für Deine Antwort!
> Wenn man von Unabhängigkeit ausgeht, dann ist die Lösung
> einfach, nämlich: P(A)*P(B)*P(C)=0,51
Wenn man Unabhängigkeit der Ereignisse $A,B,C$ annimmt, kommt man mittels Siebformel (Ein/Auschlussprinzip) auf ein System von 4 Gleichungen für 3 Unbekannte, das nach Auskunft meines CAS keine Lösung hat (hab's aber nicht von Hand überprüft). Falls dies zutrifft, können die drei Ereignisse $A,B,C$ gar nicht unabhängig sein.
> Aber davon steht nichts in der Aufgabenstellung.
Was die Aufgabenstellung betrifft: ich bin unsicher geworden, ob meine Interpretation, dass die Wahrscheinlichkeiten $P(A), P(B), P(C)$ zu bestimmen sind, wirklich mit der Absicht des Aufgabenstellers übereinstimmt. Die Frage war ja: "Wie groß ist die W'keit für genau eines dieser Ereignisse?" - Dieser Ereignisse? - welcher Ereignisse (genau)?
Es scheint mir also durchaus möglich, dass nicht nach $P(A), P(B)$ und $P(C)$ gefragt wird, sondern nach der Wahrscheinlichkeit, dass nur genau eines der vier Ereignisse [mm] $A\cup B\cup [/mm] C$, [mm] $A\cup [/mm] B$, [mm] $A\cup [/mm] C$ und [mm] $B\cup [/mm] C$ eintritt.
Dies wäre dann die Wahrscheinlichkeit, dass [mm] $\left(A\cup B\cup C\right)\cap \overline{A\cup B}\cap \overline{A\cup C}\cap \overline{B\cup C}$ [/mm] eintritt (denn die anderen Teilereignisse des Gesamtereingisses "genau eines" sind, wie z.B. [mm] $\overline{A\cup B\cup C}\cap \left(A\cup B\right)\cap \overline{A\cup C}\cap \overline{B\cup C}$, [/mm] alles leere Mengen). Diese Wahrscheinlichkeit stimmt gerade mit dem Wert $0.9-x=0.3$, überein (wobei $x=0.6$, das ich in meiner ersten Antwort bestimmt hatte).
Diese Wahrscheinlichkeit [mm] $P\left[\left(A\cup B\cup C\right)\cap \overline{A\cup B}\cap \overline{A\cup C}\cap \overline{B\cup C}\right]=0.9-x=0.3$ [/mm] ist durch die Aufgabenstellung jedenfalls eindeutig bestimmt. Nun müssten wir uns nur noch darin einig werden, dass diese Antwort den etwas gar knapp formulierten Wünschen des Aufgabenstellers entspricht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:09 So 27.07.2008 | | Autor: | malibu06 |
Ich glaube das ist es!
Vielen Dank!!
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