Messbar,Spur \Sigma Algebra < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:54 Sa 09.12.2017 | | Autor: | Filza |
| Aufgabe | [mm] $(\Omega ,\mathcal{A}, \mu)$ [/mm] Maßraum und $B [mm] \in \mathcal{A}$ [/mm] nicht-leer. [mm] $\mu |_B$ [/mm] Einschr. von [mm] $\mu$ [/mm] auf Spur- [mm] $\sigma$ [/mm] -Algebra [mm] $\mathcal{A}|_B$. [/mm]
[mm] $f:\Omega [/mm] -> [mm] \overline{\IR}$ [/mm] eine Funktion.
Zu zeigen ist:
a) [mm] $f|_B \in M_{+}(B,\mathcal{A}|_B)$ [/mm] (positiv messbar) genau dann wenn $f [mm] 1_B \in M_{+} (\Omega, \mathcal{A})$ [/mm] (positiv messbar). 1 ist hier die Indikatorfunktion.In diesem Fall ist [mm] $\int_B [/mm] f [mm] d\mu_B [/mm] = [mm] \int_\Omega [/mm] f [mm] 1_B d\mu$ [/mm] |
Ich brauch hier unbedingt Hilfe.
Würde mich auf eure Ideen freuen:)
Also ich hatte nur folgenden Teil gezeigt:
[mm] $f|_B \in [/mm] M (B,A [mm] |_B)$ [/mm] (messbar) genau dann wenn $f [mm] 1_B \in [/mm] M [mm] (\Omega, [/mm] A)$(messbar).
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:14 So 10.12.2017 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hey,
ich hab deine Aufgabe mal editiert, dass man sie auch lesen kann… lies mal drüber und sag, ob das so von dir gewollt war.
Wenn ja, können wir uns an die Beantwortung machen.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:55 So 10.12.2017 | | Autor: | Son |
ich hätte da vielleicht eine Idee:
Also man könnte erstmal die Messbarkeit zeigen indem man die Umkehrfunktionen betrachtet, oder?
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Hiho,
> Also man könnte erstmal die Messbarkeit zeigen indem man die Umkehrfunktionen betrachtet, oder?
und wie soll die ohne Kenntnis der Funktion aussehen?
Im Übrigen hat nicht jede meßbare Funktion eine Umkehrfunktion.
Bspw. ist [mm] $f\equiv [/mm] 0$ sicher meßbar, da konstant, hat aber keine Umkehrfunktion, da nicht injektiv.
Gruß,
Gono
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:04 So 10.12.2017 | | Autor: | fred97 |
> ich hätte da vielleicht eine Idee:
> Also man könnte erstmal die Messbarkeit zeigen indem man
> die Umkehrfunktionen betrachtet, oder?
mir kommt der Verdacht, dass Du keine Ahnung hast, was Messbarkeit bedeutet, ja in der Definition kommt
[mm] f^{-1} [/mm] vor, aber damit ist in diesem Zusammenhang ist nicht die Umkehrfunktion gemeint, sondern dort ist von Urbildmengen die Rede.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:32 So 10.12.2017 | | Autor: | Filza |
Ja genau. So war die Aufgabenstellung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:19 So 10.12.2017 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
was soll denn positiv meßbar bedeuten?
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:21 So 10.12.2017 | | Autor: | Filza |
Wenn eine messbare Funktion f>= 0 ist
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Hiho,
> Also ich hatte nur folgenden Teil gezeigt:
> [mm]f|_B \in M (B,A |_B)[/mm] (messbar) genau dann wenn [mm]f 1_B \in M (\Omega, A)[/mm](messbar).
"nur" ist gut… damit bist du doch eigentlich fertig.
Die Aussage [mm] $f|_B \ge [/mm] 0 [mm] \gdw f1_B \ge [/mm] 0$ ist eigentlich trivial.
(Wenn dir das nicht klar ist, frag nochmal nach)
Die Gleichheit der Integrale zeigst du mit dem maßtheoretischen Standardargument schlechthin
1.) Für einfache Funktionen
2.) Für nichtnegative Funktionen f(und für die existiert eine Folge einfacher Funktionen mit [mm] $f_n \nearrow [/mm] f$)
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:54 So 10.12.2017 | | Autor: | Filza |
Also die Äquivalenz ist klar.
Nur weiß ich nicht, wie ich bei den Integralen vorgehen soll...
Kann man das mit der Standarddarstellung darstellen?
Also ich weiß nicht wie ich [mm] \int_B [/mm] f [mm] d\mu_B [/mm] umschreiben soll.
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Hiho,
> Also ich weiß nicht wie ich [mm]\int_B[/mm] f [mm]d\mu_B[/mm] umschreiben soll.
Ich hab dir das doch bereits gesagt, wie das zu beweisen ist. Warum machst du das nicht?
1.) Zeige die Gleichheit für einfache Funktionen
2.) Zeige die Gleichheit für nichtnegative Funktionen indem du 1.) verwendest und die Existenz einer Folge einfacher Funktionen mit [mm] $f_n \nearrow [/mm] f$
Gruß,
Gono
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