Messbare Abbildung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:54 Di 30.06.2015 | | Autor: | nkln |
| Aufgabe | Gegeben sei die Menge [mm] \Omega:=\{1,2,3,4,5\} [/mm] und die folgenden beiden [mm] \sigma-Algebren [/mm] über [mm] \Omega:
[/mm]
[mm] F_1:= \sigma(\{\{1,2\}\}) [/mm] und [mm] F_2:= \sigma(\{\{1,2\},\{1,2,3\}\})
[/mm]
weiterhing sei die Abbilung [mm] X:\Omega \to \Omega [/mm] definiert durch [mm] X(\omega)= \omega, \omega \in \Omega
[/mm]
Zeigen sie ,dass die Abbildung [mm] X(F_2-F_1)-messbar [/mm] ist, jedoch nicht [mm] X(F_1-F_2)-messbar [/mm] ist |
Bew:
[mm] X(F_2-F_1)-messbar [/mm] also [mm] X(F_2-F_1)
[/mm]
eine funktion X ist messbar ,wenn das urbild jeder messbaren Menge [mm] A\in A_1 [/mm] unter der Funktion $ X$ eine Messbare menge in [mm] (F_2,A_2).
[/mm]
Seien [mm] A_1:= \{\{1,2\},\{1,2,3\}\} [/mm] und [mm] A_2:= \{\{1,2\}\} [/mm] so definiert
Also [mm] $X^{-1}(A) \in A_1 \forall [/mm] A [mm] \in A_2$
[/mm]
Sei [mm] A\in A_2 [/mm] der einzige Fall ist da $A:= [mm] \{\{1,2\}\} [/mm] $ und [mm] X^{-1}(A) [/mm] ist [mm] \in A_1 [/mm] , da [mm] \{1,2\} \in A_1:= \{\{1,2\},\{1,2,3\}\} [/mm]
[mm] \Rightarrow X(F_2-F_1)-messbar [/mm] stimmt
[mm] X(F_1,F_2) [/mm] ist nicht messbar da [mm] $X^{-1}(A) \in A_2 \forall [/mm] A [mm] \in A_1$
[/mm]
mit [mm] A:=\{\{1,2,3\}\} [/mm] und das unschön ist ,weil [mm] \{1,2,3\} \not \in A_2:= \{\{1,2\}\}. [/mm] Dieser eine Fall erfüllt nicht die Bedingung,darum ist
[mm] X(F_1,F_2) [/mm] nicht messbar .
ist das so gut?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:48 Mi 01.07.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo nkln!
> Gegeben sei die Menge [mm]\Omega:=\{1,2,3,4,5\}[/mm] und die
> folgenden beiden [mm]\sigma-Algebren[/mm] über [mm]\Omega:[/mm]
>
> [mm]F_1:= \sigma(\{\{1,2\}\})[/mm] und [mm]F_2:= \sigma(\{\{1,2\},\{1,2,3\}\})[/mm]
>
> weiterhing sei die Abbilung [mm]X:\Omega \to \Omega[/mm] definiert
> durch [mm]X(\omega)= \omega, \omega \in \Omega[/mm]
>
> Zeigen sie ,dass die Abbildung [mm]X(F_2-F_1)-messbar[/mm] ist,
> jedoch nicht [mm]X(F_1-F_2)-messbar[/mm] ist
> Bew:
>
> [mm]X(F_2-F_1)-messbar[/mm] also [mm]X(F_2-F_1)[/mm]
>
> eine funktion X ist messbar ,wenn das urbild jeder
> messbaren Menge [mm]A\in A_1[/mm] unter der Funktion [mm]X[/mm] eine Messbare
> menge in [mm](F_2,A_2).[/mm]
Unsere Abbildung [mm] $X\colon\Omega\to\Omega$ [/mm] ist [mm] ($F_2-F_1$)-messbar, [/mm] wenn das Urbild jeder messbaren Menge [mm] $A\in F_1$ [/mm] unter der Abbildung $X$ eine messbare Menge im messbaren Raum [mm] $(\Omega,F_2)$ [/mm] ist.
Mit anderen Worten: Zu zeigen ist
(*) [mm] $X^{-1}(A)\in F_2$
[/mm]
für alle [mm] $A\in F_1$.
[/mm]
Vielleicht hattet ihr schon eine Bemerkung in der Vorlesung, nach der es genügt, einen Erzeuger [mm] $\mathcal{E}_1$ [/mm] der Sigma-Algebra [mm] $F_1$ [/mm] zu wählen und (*) lediglich für alle [mm] $A\in\mathcal{E}_1$ [/mm] statt für alle [mm] $A\in F_1$ [/mm] zu zeigen.
Hier bietet sich die Wahl
[mm] $\mathcal{E}_1:=\{\{1,2\}\}$
[/mm]
an.
> Seien [mm]A_1:= \{\{1,2\},\{1,2,3\}\}[/mm] und [mm]A_2:= \{\{1,2\}\}[/mm] so
> definiert
[mm] $A_1$ [/mm] ist also ein Erzeuger von [mm] $F_2$ [/mm] und [mm] $A_2$ [/mm] ein Erzeuger von [mm] $F_1$.
[/mm]
> Also [mm]X^{-1}(A) \in A_1 \forall A \in A_2[/mm]
Unter Verwendung des von mir erwähnten Kriteriums zum Nachweis der Messbarkeit mittels eines Erzeugers ist mit deinen Bezeichnungen zunächst (*) für alle [mm] $A\in A_2$ [/mm] zu zeigen.
Wegen [mm] $A_1\subseteq F_2$ [/mm] genügt es jedoch in der Tat,
[mm] $X^{-1}(A)\in A_1$
[/mm]
für alle [mm] $A\in A_2$ [/mm] zu zeigen.
> Sei [mm]A\in A_2[/mm] der einzige Fall ist da [mm]A:= \{\{1,2\}\}[/mm]
Da [mm] $A_2=\{\{1,2\}\}$, [/mm] ist der einzige Fall [mm] $A=\{1,2\}$.
[/mm]
> und
> [mm]X^{-1}(A)[/mm] ist [mm]\in A_1[/mm] , da [mm]\{1,2\} \in A_1:= \{\{1,2\},\{1,2,3\}\}[/mm]
Ja.
> [mm]\Rightarrow X(F_2-F_1)-messbar[/mm] stimmt
Mit den von mir ergänzten Begründungen: Ja.
> [mm]X(F_1,F_2)[/mm] ist nicht messbar da [mm]X^{-1}(A) \in A_2 \forall A \in A_1[/mm]
Du meinst vermutlich: ..., da SONST [mm] $X^{-1}(A)\in A_2$ [/mm] für alle [mm] $A\in A_1$ [/mm] gelten müsste.
Das genügt nicht. Vielmehr musst du die Gültigkeit von
(**) [mm] $X^{-1}(A)\in \blue{F_2}$
[/mm]
für alle [mm] $A\in A_1$ [/mm] widerlegen.
> mit [mm]A:=\{\{1,2,3\}\}[/mm] und das unschön ist ,
Du meinst: Insbesondere müsste (**) für [mm] $A:=\{1,2,3\}$ [/mm] gelten.
> weil [mm]\{1,2,3\} \not \in A_2:= \{\{1,2\}\}.[/mm]
Zeigen musst du: [mm] $\{1,2,3\}\notin F_1$, [/mm] d.h. [mm] $\{1,2,3\}\notin\sigma(A_2)$.
[/mm]
Der einfachste Weg dazu: Bestimme explizit [mm] $\sigma(A_2)$ [/mm] und weise nach, dass du damit richtig liegst.
Viele Grüße
Tobias
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