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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:50 Fr 01.05.2015 | | Autor: | James90 |
Hi! Ich habe eine Frage zu einer Passage aus einem Skript und würde mich über Hilfe freuen.
Es sei F eine Sigma-Algebra auf [mm] \Omega [/mm] und M eine Menge von nichtnegativen messbaren numerischen Funktionen. Weiterhin
i) [mm] $f_1,f_2,...\in [/mm] M$ mit [mm] $f_n\uparrow [/mm] f$ [mm] $\Rightarrow f\in [/mm] M$
ii) [mm] $f,g\in [/mm] M$ und a,b>0 [mm] $\Rightarrow af+bg\in [/mm] M$
iii) Für alle [mm] $A\in [/mm] F$ gilt: [mm] $1_A\in [/mm] M$.
Dann ist M die Menge aller nichtnegativen messbaren numerischen Funktionen.
Darunter steht, dass der Beweis dazu klar ist, aber mir ist er nicht so klar.
- Wir haben also EINE Menge M von Funktionen mit gewissen Eigenschaften und wollen dann darauf schließen, dass ALLE Funktionen mit diesen gewissen Eigenschaften in M liegen?
- Verstehe ich es richtig, dass in M Funktionen [mm] f_1,f_2,... [/mm] liegen der Form [mm] f_i:\Omega\to [0,\infty] [/mm] für alle i? Ich nehme nämlich an, dass wir [mm] f_i:(\Omega,F)\to(\IR,B) [/mm] messbar betrachten, also borel-messbar oder ist das falsch?
Da ich das noch nicht verstanden habe, habe ich weitergelesen und es kam eine Übungsaufgabe, die hoffentlich dazugehört: Sei [mm] \Omega [/mm] höchstens abzählbarer Grundraum. [mm] \mu [/mm] das Zählmaß und [mm] f:\Omega\to[0,\infty] [/mm] eine Abbildung. Zeige, dass [mm] $\int [/mm] f [mm] d\mu=\sum_{x\in\Omega}f(x)$.
[/mm]
- Wie zeige ich das nun genau mit dem Satz? Offensichtlich ist [mm] $f\in [/mm] M$, aber irgendwie verstehe ich nicht wie man anfängt.
Vielen Dank, LG James.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:03 Fr 01.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hi! Ich habe eine Frage zu einer Passage aus einem Skript
> und würde mich über Hilfe freuen.
>
> Es sei F eine Sigma-Algebra auf [mm]\Omega[/mm] und M eine Menge von
> nichtnegativen messbaren numerischen Funktionen. Weiterhin
>
> i) [mm]f_1,f_2,...\in M[/mm] mit [mm]f_n\uparrow f[/mm] [mm]\Rightarrow f\in M[/mm]
>
> ii) [mm]f,g\in M[/mm] und a,b>0 [mm]\Rightarrow af+bg\in M[/mm]
>
> iii) Für alle [mm]A\in F[/mm] gilt: [mm]1_A\in M[/mm].
>
> Dann ist M die Menge aller nichtnegativen messbaren
> numerischen Funktionen.
>
> Darunter steht, dass der Beweis dazu klar ist, aber mir ist
> er nicht so klar.
>
> - Wir haben also EINE Menge M von Funktionen mit gewissen
> Eigenschaften und wollen dann darauf schließen, dass ALLE
> Funktionen mit diesen gewissen Eigenschaften in M liegen?
Hä ??? Das ist doch banal. Ich glaube, Du wolltest etwas anderes schreiben.
>
> - Verstehe ich es richtig, dass in M Funktionen [mm]f_1,f_2,...[/mm]
> liegen der Form [mm]f_i:\Omega\to [0,\infty][/mm] für alle i? Ich
> nehme nämlich an, dass wir [mm]f_i:(\Omega,F)\to(\IR,B)[/mm]
> messbar betrachten, also borel-messbar oder ist das
> falsch?
Die Sache ist so:
1. Gegeben ist eine Menge M von nichtnegativen messbaren numerischen Funktionen. Diese Mnenge M soll gewisse Eigenschaften haben, nämlich die Eig. i), ii) und iii)
Zeigen sollst Du nun: ist f eine auf [mm] \Omega [/mm] messbare Funktion, so gehört f zur Menge M.
Das ist aber einfach, wenn Du daran denkst, dass es eine Folge [mm] (f_n) [/mm] nichtnegativer messbarer Treppenfunktionen gibt mit $ [mm] f_n\uparrow [/mm] f $.
Wegen ii) und iii) gilt: [mm] f_n \in [/mm] M für alle n.
Aus i) folgt dann f [mm] \in [/mm] M.
>
>
> Da ich das noch nicht verstanden habe, habe ich
> weitergelesen und es kam eine Übungsaufgabe, die
> hoffentlich dazugehört: Sei [mm]\Omega[/mm] höchstens abzählbarer
> Grundraum. [mm]\mu[/mm] das Zählmaß und [mm]f:\Omega\to[0,\infty][/mm] eine
> Abbildung. Zeige, dass [mm]\int f d\mu=\sum_{x\in\Omega}f(x)[/mm].
>
> - Wie zeige ich das nun genau mit dem Satz?
Welchen Satz meinst Du ?
> Offensichtlich
> ist [mm]f\in M[/mm], aber irgendwie verstehe ich nicht wie man
> anfängt.
Ich denke nicht, dass diese Aufgabe zu obigem gehört.
FRED
>
>
> Vielen Dank, LG James.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Fr 01.05.2015 | | Autor: | James90 |
Hi fred und danke für die Antwort!
> > Hi! Ich habe eine Frage zu einer Passage aus einem Skript
> > und würde mich über Hilfe freuen.
> >
> > Es sei F eine Sigma-Algebra auf [mm]\Omega[/mm] und M eine Menge von
> > nichtnegativen messbaren numerischen Funktionen. Weiterhin
> >
> > i) [mm]f_1,f_2,...\in M[/mm] mit [mm]f_n\uparrow f[/mm] [mm]\Rightarrow f\in M[/mm]
>
> >
> > ii) [mm]f,g\in M[/mm] und a,b>0 [mm]\Rightarrow af+bg\in M[/mm]
> >
> > iii) Für alle [mm]A\in F[/mm] gilt: [mm]1_A\in M[/mm].
> >
> > Dann ist M die Menge aller nichtnegativen messbaren
> > numerischen Funktionen.
> >
> > Darunter steht, dass der Beweis dazu klar ist, aber mir ist
> > er nicht so klar.
> >
> > - Wir haben also EINE Menge M von Funktionen mit gewissen
> > Eigenschaften und wollen dann darauf schließen, dass ALLE
> > Funktionen mit diesen gewissen Eigenschaften in M liegen?
> > - Verstehe ich es richtig, dass in M Funktionen [mm]f_1,f_2,...[/mm]
> > liegen der Form [mm]f_i:\Omega\to [0,\infty][/mm] für alle i? Ich
> > nehme nämlich an, dass wir [mm]f_i:(\Omega,F)\to(\IR,B)[/mm]
> > messbar betrachten, also borel-messbar oder ist das
> > falsch?
>
>
>
>
> Die Sache ist so:
>
> 1. Gegeben ist eine Menge M von nichtnegativen messbaren
> numerischen Funktionen. Diese Mnenge M soll gewisse
> Eigenschaften haben, nämlich die Eig. i), ii) und iii)
>
> Zeigen sollst Du nun: ist f eine auf [mm]\Omega[/mm] messbare
> Funktion, so gehört f zur Menge M.
Meinst du mit "f eine auf [mm] \Omega [/mm] messbare Funktion" eine [mm] \Omega-\IR [/mm] messbare, also borel-messbare Funktion?
> Das ist aber einfach, wenn Du daran denkst, dass es eine
> Folge [mm](f_n)[/mm] nichtnegativer messbarer Treppenfunktionen gibt
> mit [mm]f_n\uparrow f [/mm].
Mit Treppenfunktionen sind hier eigentlich einfache Funktionen gemeint oder? Also sei f eine auf [mm] \Omega [/mm] messbare Funktion, dann gibt es eine Folge [mm] (f_n) [/mm] nichtnegativer messbarer einfacher Funktionen mit [mm] $f_n\uparrow [/mm] f$ für [mm] n\to\infty.
[/mm]
> Wegen ii) und iii) gilt: [mm]f_n \in[/mm] M für alle n.
Das hier bereitet mir Probleme. Könntest du mir das bitte genauer erklären?
> Aus i) folgt dann f [mm]\in[/mm] M.
Okay, das sehe ich ein. Wenn [mm] $f_n\in [/mm] M$ für alle [mm] n\in\IN, [/mm] dann folgt direkt wegen i), dass [mm] $f\in [/mm] M$.
> Welchen Satz meinst Du ?
Damit meinte ich die Aussage ganz oben. Ein Kommilitone hat mir heute gesagt, dass diese Aussage eine Art Induktion ist, aber ganz genau wusste er auch nichts dazu. Kannst du mir vielleicht eine einfache Aufgabe geben, die ich mit obiger Aussage zeigen kann?
LG James
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:54 So 03.05.2015 | | Autor: | James90 |
Push ^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:36 So 03.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hi fred und danke für die Antwort!
>
> > > Hi! Ich habe eine Frage zu einer Passage aus einem Skript
> > > und würde mich über Hilfe freuen.
> > >
> > > Es sei F eine Sigma-Algebra auf [mm]\Omega[/mm] und M eine Menge von
> > > nichtnegativen messbaren numerischen Funktionen. Weiterhin
> > >
> > > i) [mm]f_1,f_2,...\in M[/mm] mit [mm]f_n\uparrow f[/mm] [mm]\Rightarrow f\in M[/mm]
>
> >
> > >
> > > ii) [mm]f,g\in M[/mm] und a,b>0 [mm]\Rightarrow af+bg\in M[/mm]
> > >
> > > iii) Für alle [mm]A\in F[/mm] gilt: [mm]1_A\in M[/mm].
> > >
> > > Dann ist M die Menge aller nichtnegativen messbaren
> > > numerischen Funktionen.
> > >
> > > Darunter steht, dass der Beweis dazu klar ist, aber mir ist
> > > er nicht so klar.
> > >
> > > - Wir haben also EINE Menge M von Funktionen mit gewissen
> > > Eigenschaften und wollen dann darauf schließen, dass ALLE
> > > Funktionen mit diesen gewissen Eigenschaften in M liegen?
>
> > > - Verstehe ich es richtig, dass in M Funktionen [mm]f_1,f_2,...[/mm]
> > > liegen der Form [mm]f_i:\Omega\to [0,\infty][/mm] für alle i? Ich
> > > nehme nämlich an, dass wir [mm]f_i:(\Omega,F)\to(\IR,B)[/mm]
> > > messbar betrachten, also borel-messbar oder ist das
> > > falsch?
> >
> >
> >
> >
> > Die Sache ist so:
> >
> > 1. Gegeben ist eine Menge M von nichtnegativen messbaren
> > numerischen Funktionen. Diese Mnenge M soll gewisse
> > Eigenschaften haben, nämlich die Eig. i), ii) und iii)
> >
> > Zeigen sollst Du nun: ist f eine auf [mm]\Omega[/mm] messbare
> > Funktion, so gehört f zur Menge M.
>
> Meinst du mit "f eine auf [mm]\Omega[/mm] messbare Funktion" eine
> [mm]\Omega-\IR[/mm] messbare, also borel-messbare Funktion?
Ja
>
> > Das ist aber einfach, wenn Du daran denkst, dass es eine
> > Folge [mm](f_n)[/mm] nichtnegativer messbarer Treppenfunktionen gibt
> > mit [mm]f_n\uparrow f [/mm].
>
> Mit Treppenfunktionen sind hier eigentlich einfache
> Funktionen gemeint oder?
Ja, messbare Treppenfunktionen.
> Also sei f eine auf [mm]\Omega[/mm]
> messbare Funktion, dann gibt es eine Folge [mm](f_n)[/mm]
> nichtnegativer messbarer einfacher Funktionen mit
> [mm]f_n\uparrow f[/mm] für [mm]n\to\infty.[/mm]
f sollte nichtnegativ sein !
>
> > Wegen ii) und iii) gilt: [mm]f_n \in[/mm] M für alle n.
>
> Das hier bereitet mir Probleme. Könntest du mir das bitte
> genauer erklären?
1. Ist $ [mm] A\in [/mm] F $ , so gilt: $ [mm] 1_A\in [/mm] M $.
2. aus iii) und ii) folgt dann: jede nichtnegative einfache Funktion gehört zu M.
3. ist f nichtnegativ nund messbar, so folgt mit i) und 2.: f [mm] \in [/mm] M.
>
> > Aus i) folgt dann f [mm]\in[/mm] M.
>
> Okay, das sehe ich ein. Wenn [mm]f_n\in M[/mm] für alle [mm]n\in\IN,[/mm]
> dann folgt direkt wegen i), dass [mm]f\in M[/mm].
>
> > Welchen Satz meinst Du ?
>
> Damit meinte ich die Aussage ganz oben. Ein Kommilitone hat
> mir heute gesagt, dass diese Aussage eine Art Induktion
> ist, aber ganz genau wusste er auch nichts dazu. Kannst du
> mir vielleicht eine einfache Aufgabe geben, die ich mit
> obiger Aussage zeigen kann?
Zeige es zunächst für messbare Funktionen der Form [mm] 1_A
[/mm]
Dann zeige es für einfache Funktionen
Dann zeige es für nichtnegative messbare Funktionen
Dann zeige es für messbare Funktionen.
FRED
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> LG James
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