Messbare Menge < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:21 Di 21.02.2012 | | Autor: | kalor |
hallo!
Wenn ich zwei Zufallsvariablen habe, $X,Y$ ist dann die Menge:
[mm]\{X=Y\} [/mm]
messbar? Weiter, wenn ich einen Zeitindex habe [mm] $X_t,Y_t$ [/mm] sind dann die Mengen:
[mm]\{X_t=Y_t; \forall t\ge 0\} [/mm], [mm]\{\lim_{s\uparrow t} X_s=\lim_{s\downarrow t}} X_s\} [/mm]
messbar?
mfg
KaloR
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:15 Mi 22.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> hallo!
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> Wenn ich zwei Zufallsvariablen habe, [mm]X,Y[/mm] ist dann die
> Menge:
>
> [mm]\{X=Y\}[/mm]
>
> messbar?
Ja, denn mit Z:=X-Y ist [mm]\{X=Y\}= Z^{-1}(\{0\})[/mm]
> Weiter, wenn ich einen Zeitindex habe [mm]X_t,Y_t[/mm] sind
> dann die Mengen:
>
> [mm]\{X_t=Y_t; \forall t\ge 0\} [/mm],
[mm]\{X_t=Y_t; \forall t\ge 0\} =\bigcap_{t \ge 0}^{}\{X_t=Y_t \}[/mm] ist Durchschnitt messbarer Mengen, also messbar.
Edit: das war ein Griff ins Klo. Ich war zu voreilig. i.a. ist nur ein abzählbarer Durchschnitt messbarer Mengen wieder messbar.
[mm]\{\lim_{s\uparrow t} X_s=\lim_{s\downarrow t}} X_s\}[/mm]
Ebenfalls messbar, denn [mm] \lim_{s\uparrow t} X_s [/mm] und [mm] \lim_{s\downarrow t} X_s [/mm] sind messbar.
FRED
>
> messbar?
> mfg
>
> KaloR
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:49 Mi 22.02.2012 | | Autor: | donquijote |
> > hallo!
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> > Wenn ich zwei Zufallsvariablen habe, [mm]X,Y[/mm] ist dann die
> > Menge:
> >
> > [mm]\{X=Y\}[/mm]
> >
> > messbar?
>
>
> Ja, denn mit Z:=X-Y ist [mm]\{X=Y\}= Z^{-1}(\{0\})[/mm]
>
> > Weiter, wenn ich einen Zeitindex habe [mm]X_t,Y_t[/mm] sind
> > dann die Mengen:
> >
> > [mm]\{X_t=Y_t; \forall t\ge 0\} [/mm],
>
>
> [mm]\{X_t=Y_t; \forall t\ge 0\} =\bigcap_{t \ge 0}^{}\{X_t=Y_t \}[/mm]
> ist Durrchschnitt messbarer Mengen, also messbar.
Das stimmt nicht in voller Allgemeinheit. Bei einem kontinuierlichen Zeitparameter [mm] t\in\IR [/mm] ist das ein überabzählbarer Durchschnitt, bei dem die Messbarkeit verloren gehen kann. Um Messbarkeit derartiger Mengen zu garantieren, braucht man zusätzliche Voraussetzungen.
>
>
>
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> [mm]\{\lim_{s\uparrow t} X_s=\lim_{s\downarrow t}} X_s\}[/mm]
>
>
> Ebenfalls messbar, denn [mm]\lim_{s\uparrow t} X_s[/mm] und
> [mm]\lim_{s\downarrow t} X_s[/mm] sind messbar.
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> FRED
> >
> > messbar?
> > mfg
> >
> > KaloR
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:52 Mi 22.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > hallo!
> > >
> > > Wenn ich zwei Zufallsvariablen habe, [mm]X,Y[/mm] ist dann die
> > > Menge:
> > >
> > > [mm]\{X=Y\}[/mm]
> > >
> > > messbar?
> >
> >
> > Ja, denn mit Z:=X-Y ist [mm]\{X=Y\}= Z^{-1}(\{0\})[/mm]
> >
> > > Weiter, wenn ich einen Zeitindex habe [mm]X_t,Y_t[/mm] sind
> > > dann die Mengen:
> > >
> > > [mm]\{X_t=Y_t; \forall t\ge 0\} [/mm],
> >
> >
> > [mm]\{X_t=Y_t; \forall t\ge 0\} =\bigcap_{t \ge 0}^{}\{X_t=Y_t \}[/mm]
> > ist Durrchschnitt messbarer Mengen, also messbar.
>
> Das stimmt nicht in voller Allgemeinheit. Bei einem
> kontinuierlichen Zeitparameter [mm]t\in\IR[/mm] ist das ein
> überabzählbarer Durchschnitt, bei dem die Messbarkeit
> verloren gehen kann. Um Messbarkeit derartiger Mengen zu
> garantieren, braucht man zusätzliche Voraussetzungen.
Aua ! Du hast recht. Peinlich !
FRED
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> > [mm]\{\lim_{s\uparrow t} X_s=\lim_{s\downarrow t}} X_s\}[/mm]
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> > Ebenfalls messbar, denn [mm]\lim_{s\uparrow t} X_s[/mm] und
> > [mm]\lim_{s\downarrow t} X_s[/mm] sind messbar.
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> > FRED
> > >
> > > messbar?
> > > mfg
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> > > KaloR
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