Messbarkeit < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:23 Fr 28.11.2014 | | Autor: | Alex1993 |
| Aufgabe | Durch g(A)=#A für A [mm] \in Pot(\IN) [/mm] sei das Zählmaß auf [mm] (\IN, Pot(\IN)) [/mm] definiert. weiter sei [mm] f:\IN->\IR+ [/mm] eine beliebige Abbildung.
1) Zeige, dass f messbar ist bzgl. Pot(N) |
Hallo,
ich habe einige Probleme die Aufgabe zu lösen und hoffe nun hier auf Hilfe.
Damit f messbar ist, muss für alle a aus den reellen Zahlen doch folgendes erfüllt sein.
(f<a) [mm] \in [/mm] Pot(N)
in der Lösung steht leider keinerlei Hinweis, wieso man das in diesem Falle einfach voraussetzen kann. Klar ist, mein [mm] \Omega [/mm] sind die natürlichen Zahlen und damit bilde ich in die positiven reellen Zahlen ab. Aber wie kann ich voraussetzen, dass es ein a gibt was größer als f ist? Und woher weiß ich dann, das dies in der Pot(N) liegt?
Ich würde mich sehr über eine Antwort freuen!
|
|
| |
|
Hiho,
zäumen wir das Feld mal von hinten auf: f ist eine Abbildung von [mm] $\IN$ [/mm] nach [mm] $\IR$.
[/mm]
Sei $B [mm] \subseteq \IR$ [/mm] eine Teilmenge von [mm] $\IR$, [/mm] wovon ist dann das Urbild von B unter f, d.h. [mm] $f^{-1}(B)$ [/mm] eine Teilmenge?
Erinnerung: f ist eine Abbildung von [mm] $\IN$ [/mm] nach [mm] $\IR$!
[/mm]
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 Sa 29.11.2014 | | Autor: | Alex1993 |
Hey
Das Urbild von B ist dann eine Teilmenge der natürlichen Zahlen und somit auch ein Element der Potenzmenge der natürlichen zahlen, oder?
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:56 Sa 29.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hey
> Das Urbild von B ist dann eine Teilmenge der natürlichen
> Zahlen und somit auch ein Element der Potenzmenge der
> natürlichen zahlen, oder?
Ja
FRED
>
>
> LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 Sa 29.11.2014 | | Autor: | Alex1993 |
Hey
aber hier gehen wir doch davon aus, dass {f<a} ein Element der Potenzmenge ist. Das sind ja nicht die Urbilder sondern die Bilder. Wie kann man denn dann aus der Behauptung, dass die Urbilder ein Element der Potenzmenge der natürlichen Zahlen sind schlussfolgern, dass auch die Bilder ein Element dieser Potenzmenge sind?
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:45 Sa 29.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hey
> aber hier gehen wir doch davon aus, dass {f<a} ein Element
> der Potenzmenge ist. Das sind ja nicht die Urbilder sondern
> die Bilder.
Nein.
f ist eine Abbildung von $ [mm] \IN [/mm] $ nach $ [mm] \IR [/mm] $. Damit ist
[mm] \{f
FRED
> Wie kann man denn dann aus der Behauptung, dass
> die Urbilder ein Element der Potenzmenge der natürlichen
> Zahlen sind schlussfolgern, dass auch die Bilder ein
> Element dieser Potenzmenge sind?
>
> LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Sa 29.11.2014 | | Autor: | Alex1993 |
Hey
>
> Nein.
>
> f ist eine Abbildung von [mm]\IN[/mm] nach [mm]\IR [/mm]. Damit ist
Aber das ist ja das, was ich nicht verstehe. Also ich weiß: die Urbilder von f sind ein Teil der Potenzmenge von [mm] \IN. [/mm] Aber wie kann ich dann weiter auf die Bedeutung der Bilder schließen?
LG
|
|
|
| |
|
Hiho,
du unterliegst einem klassischen Denkfehler:
[mm] $\{f < a\}$ [/mm] beschreibt nicht das Bild von f sondern per Definition das Urbild der Menge [mm] $(-\infty,a)$ [/mm] unter f
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 So 30.11.2014 | | Autor: | Alex1993 |
Guten Nachmittag,
Ohwei, jetzt verstehe ich gar nichts mehr. "f" sind doch die Bilder und a ist eine reele Zahl, die eben größer als die Funktionswerte ist, dass habe ich gedacht. Was stimmt daran nicht?
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 So 30.11.2014 | | Autor: | tobit09 |
> "f" sind doch
> die Bilder
Nein. $f$ ist eine Abbildung [mm] $\IN\to\IR_+$.
[/mm]
> und a ist eine reele Zahl, die eben größer als
> die Funktionswerte ist, dass habe ich gedacht.
Nein, a ist eine (beliebig vorgegebene) reelle Zahl.
Beachte, was Fred und ich dir schon erklärt haben:
[mm] $\{f
ist eine Kurzschreibweise/abkürzende Notation für die Menge
[mm] $\{n\in\IN\;|\;f(n)
Beispiel (ich gehe davon aus, das die 0 nicht als natürliche Zahl gilt):
Betrachten wir die Funktion
[mm] $f\colon\IN\to\IR_+,\quad [/mm] f(n)=2n$.
Dann ist z.B.
[mm] $\{f<7\}=\{n\in\IN\;|\;f(n)<7\}=\{n\in\IN\;|\;2n<7\}=\{1,2,3\}$
[/mm]
und
[mm] $\{f<100\}=\{n\in\IN\;|\;f(n)<100\}=\{n\in\IN\;|\;2n<100\}=\{1,2,3,4,\ldots,49\}$.
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 Mo 01.12.2014 | | Autor: | Alex1993 |
Danke, das verstehe ich. Dann aber nochmals von vorn:
Um die Messbarkeit zu zeiegen, muss ich dann eben zeigen, dass:{f<a} [mm] \in Pot(\IN)
[/mm]
Das die natürlichen Zahlen, also die Urbilder dort drin liegen ist klar. Und da die natürlichen Zahlen eine Teilmenge der reellen Zahlen sind, weiß ich also auch, dass meine f(n)'s bis zu einem beliebigen Wert <a ebenfalls in der Potenzmenge liegen, verstehe ich das richtig?
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:22 Mo 01.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Danke, das verstehe ich. Dann aber nochmals von vorn:
> Um die Messbarkeit zu zeiegen, muss ich dann eben zeigen,
> dass:{f<a} [mm]\in Pot(\IN)[/mm]
> Das die natürlichen Zahlen, also
> die Urbilder dort drin liegen ist klar. Und da die
> natürlichen Zahlen eine Teilmenge der reellen Zahlen sind,
> weiß ich also auch, dass meine f(n)'s bis zu einem
> beliebigen Wert <a ebenfalls in der Potenzmenge liegen,
> verstehe ich das richtig?
Da gibts doch fast nix zu zeigen !
Für jedes a [mm] \in \IR [/mm] ist doch
$ [mm] \{f
Damit ist doch
$ [mm] \{f
FRED
>
>
> LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Mo 01.12.2014 | | Autor: | Alex1993 |
Hey
>
> [mm]\{f
das können wir folgern, da die natürlichen zahlen eine der Teilmenge der reellen Zahlen sind, richtig? Und diese Teilmenge <a liegt ja in der Potenzmenge von [mm] \IN.
[/mm]
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:13 Mo 01.12.2014 | | Autor: | tobit09 |
> > [mm]\{f
>
> das können wir folgern, da die natürlichen zahlen eine
> der Teilmenge der reellen Zahlen sind, richtig?
Nein, das hat damit nichts zu tun.
> Und diese
> Teilmenge <a liegt ja in der Potenzmenge von [mm]\IN.[/mm]
Um [mm] $\{n\in\IN:f(n)
Wir müssen uns also klarmachen, dass alle Elemente von [mm] $\{n\in\IN:f(n)
Das ist jedoch klar, denn [mm] $\{n\in\IN:f(n)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Mo 01.12.2014 | | Autor: | Alex1993 |
Hey,
danke erstmal für deine Geduld.
>
> Wir müssen uns also klarmachen, dass alle Elemente von
> [mm]\{n\in\IN:f(n)
bis hierhin verstehe ich alles.
>
> Das ist jedoch klar, denn [mm]\{n\in\IN:f(n)
> gerade die Elemente von [mm]\IN[/mm] mit der Eigenschaft [mm]f(n)
> keine anderen.
diesen Schritt kann ich nicht genau nachvollziehen, da f(n) mit n [mm] \in \IN [/mm] ja Elemente der reellen Zahlen sind. Wie ist das also zu verstehen?
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 Mo 01.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hey,
> danke erstmal für deine Geduld.
>
> >
> > Wir müssen uns also klarmachen, dass alle Elemente von
> > [mm]\{n\in\IN:f(n)
>
>
> bis hierhin verstehe ich alles.
>
> >
> > Das ist jedoch klar, denn [mm]\{n\in\IN:f(n)
> > gerade die Elemente von [mm]\IN[/mm] mit der Eigenschaft [mm]f(n)
> > keine anderen.
>
>
> diesen Schritt kann ich nicht genau nachvollziehen, da f(n)
> mit n [mm]\in \IN[/mm] ja Elemente der reellen Zahlen sind. Wie ist
> das also zu verstehen?
In Worten: in der Menge
[mm]\{n\in\IN:f(n)
sind diejenigen natürlichen Zahlen n, welche die Eigenschaft f(n)<a haben.
In obiger Menge sind also nur natürliche Zahlen enthalten
FRED
>
> LG
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 Mo 01.12.2014 | | Autor: | fred97 |
Beispiel:
Sei A eine Menge und E eine Eigenschaft. Dann betrachten wir die Menge
[mm] C:=\{x \in A: x \quad hat \quad die \quad Eigenschaft \quad E\}.
[/mm]
Dan ist C ein Element von Pot(A). Warum ?
Darum: Fall 1: C= [mm] \emptyset. [/mm] Dann ist klar, dass C [mm] \in [/mm] Pot(A)
Fall 2: C [mm] \ne \emptyset. [/mm] Dann enthält C nur Elemente aus A, denn nach Def. ist
[mm] C=\{x \in A: .....\}.
[/mm]
Also wieder C [mm] \in [/mm] Pot(A).
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Mo 01.12.2014 | | Autor: | Alex1993 |
Hey
vielen Dank, ich glaube bzw. hoffe es nun verstanden zu haben. Ich gehe also hier von den Urbildern aus,die die Eigenschaft f(n)<a haben . die Bilder spielen also in diesem Fall keine Rolle?
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:14 Mo 01.12.2014 | | Autor: | tobit09 |
> vielen Dank, ich glaube bzw. hoffe es nun verstanden zu
> haben. Ich gehe also hier von den Urbildern aus,die die
> Eigenschaft f(n)<a haben .
Wenn du mit Urbildern "Elemente n des Definitionsbereiches von f" meinst, ok.
> die Bilder spielen also in
> diesem Fall keine Rolle?
Was meinst du genau mit "die Bilder"?
Falls du $f(n)$ für [mm] $n\in\IN$ [/mm] als Bild von $n$ unter f bezeichnest:
Es ist unerheblich für die Messbarkeit von [mm] $f\colon\IN\to\IR_+$, [/mm] wie die Bilder $f(n)$ für [mm] $n\in\IN$ [/mm] lauten.
Falls du für Teilmengen [mm] $N\subseteq\IN$ [/mm] das Bild $f(N)$ betrachten möchtest:
Dies hat nichts mit der Messbarkeit von f zu tun.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:32 Mo 01.12.2014 | | Autor: | Alex1993 |
Danke, ich habs verstanden 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:59 Sa 29.11.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Alex1993!
> Durch g(A)=#A für A [mm]\in Pot(\IN)[/mm] sei das Zählmaß auf
> [mm](\IN, Pot(\IN))[/mm] definiert. weiter sei [mm]f:\IN->\IR+[/mm] eine
> beliebige Abbildung.
> 1) Zeige, dass f messbar ist bzgl. Pot(N)
> Damit f messbar ist, muss für alle a aus den reellen
> Zahlen doch folgendes erfüllt sein.
> (f<a) [mm]\in[/mm] Pot(N)
für alle [mm] $a\in\IR$.
[/mm]
Üblicherweise schreibt man [mm] $\{f
> in der Lösung steht leider keinerlei Hinweis, wieso man
> das in diesem Falle einfach voraussetzen kann. Klar ist,
> mein [mm]\Omega[/mm] sind die natürlichen Zahlen und damit bilde
> ich in die positiven reellen Zahlen ab. Aber wie kann ich
> voraussetzen, dass es ein a gibt was größer als f ist?
Das behauptet niemand.
> Und woher weiß ich dann, das dies in der Pot(N) liegt?
[mm] $\{f
[mm] $\{n\in\IN\;|\;f(n)
Allgemeiner:
Für eine Funktion [mm] $g\colon M\to\IR$ [/mm] (wobei $M$ irgendeine Menge ist) definiert man für jedes [mm] $a\in\IR$:
[/mm]
[mm] $\{g
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
|
