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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:26 Do 14.12.2017 | | Autor: | Filza |
| Aufgabe | | [mm] f_n [/mm] (x)=(sin(n*exp(n*x*cos(x)))+n*x)/n |
Wie zeigt man dass die Funktion stetig bzw. unstetig ist?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:38 Do 14.12.2017 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f_n[/mm] (x)=(sin(n*exp(n*x*cos(x)))+n*x)/n
> Wie zeigt man dass die Funktion stetig bzw. unstetig ist?
Summen, Produkte und Hintereinanderausführungen (Vekettungen) stetiger Funktionen sind stetig. )
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Do 14.12.2017 | | Autor: | Filza |
Kann man aus der Stetigkeit die messbarkeit folgern?
Wie könnte man zeigen, dass die Funktion integrierbar ist?
Also ich wollte über die Stetigkeit zeigen, dass es messbar ist -> Funktion ist positiv-> integrierbar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:59 Do 14.12.2017 | | Autor: | Filza |
Ich denke so geht es doch nicht.
Man muss zeigen dass f(x)=lim [mm] f_n [/mm] (x) [mm] \mu [/mm] fast überall ist. Wie kann ich das zeigen?
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Hiho,
> Ich denke so geht es doch nicht.
> Man muss zeigen dass f(x)=lim [mm]f_n[/mm] (x) [mm]\mu[/mm] fast überall ist. Wie kann ich das zeigen?
Ob man das zeigen kann, hängt doch ganz stark von deiner Wahl von $f$ ab!
Hast du denn schon einen Kandidaten für den Grenzwert?
Tipp: [mm] $|\sin(\cdot)| \le [/mm] 1$
Damit würdest du auf einer beschränkten Menge auch eine integrierbare Majorante finden… aber eben nicht auf ganz [mm] $\IR$, [/mm] wie dir fred schon darlegte.
Gruß,
Gono
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:12 Fr 15.12.2017 | | Autor: | fred97 |
> Kann man aus der Stetigkeit die messbarkeit folgern?
Ja, stetige Funktionen sind (Borel-) messbar.
> Wie könnte man zeigen, dass die Funktion integrierbar
> ist?
Die Integrierbarkeit hängt doch von der Menge ab, über die integriert werde soll ! Wann erzählst Du uns, um welche Menge es sich handelt ?
> Also ich wollte über die Stetigkeit zeigen, dass es
> messbar ist -> Funktion ist positiv-> integrierbar.
So einfach ist das nicht ! Beispiel: sei $ f(x)=1$ für alle $x [mm] \in \IR$. [/mm] Dann ist f stetig , positiv und messbar, aber
[mm] $\int_{\IR}f [/mm] d [mm] \lambda= \lambda(\IR)= \infty$.
[/mm]
( [mm] \lambda [/mm] = Lebesgue-Maß)
f ist also nicht integrierbar über [mm] \IR.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:41 Fr 15.12.2017 | | Autor: | Filza |
Also es ist [mm] f_n [/mm] :[0,1] -> [mm] \IR
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:48 Fr 15.12.2017 | | Autor: | fred97 |
> Also es ist [mm]f_n[/mm] :[0,1] -> [mm]\IR[/mm]
Die Funktion
$ [mm] f_n (x)=(\sin(n*\exp(n*x*\cos(x)))+n*x)/n [/mm] $
ist stetig, also messbar. $[0,1]$ ist kompakt, damit ist [mm] $f_n \in L^1[0,1]$ [/mm] und
$ [mm] \int_{[0,1]} f_n [/mm] d [mm] \lambda= \int_0^1f_n(x) [/mm] dx$,
wobei links das Lebesgue-Integral und rechts das Riemann-Integral gemeint ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Fr 15.12.2017 | | Autor: | Filza |
Kann man das Lebesgue Integral mit dem Riemann Integral berechnen? (Also: [mm] \int_0^1f_n(x) [/mm] dx). Oder muss man erst beweisen, dass die Integrale gleich sind?
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Hiho,
> Kann man das Lebesgue Integral mit dem Riemann Integral
> berechnen? (Also: [mm]\int_0^1f_n(x)[/mm] dx). Oder muss man erst
> beweisen, dass die Integrale gleich sind?
das kannst du als Allgemeinwissen voraussetzen, brauchst du für die Aufgabe aber gar nicht…
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:28 Fr 15.12.2017 | | Autor: | Filza |
Also ich würde die Monotonie überprüfen. Dann mit dem Satz von der monotonen Konvergenz lim und integral vertauschen. Dann lim [mm] f_n [/mm] bestimmen. Und dann das Lebesgue Integral. Da brauche ich etwas hilfe.
--> Diese Idee geht nicht, da [mm] f_n [/mm] monoton fallend ist...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:36 Sa 16.12.2017 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Also ich würde die Monotonie überprüfen. Dann mit dem
> Satz von der monotonen Konvergenz lim und integral
> vertauschen. Dann lim [mm]f_n[/mm] bestimmen. Und dann das Lebesgue
> Integral. Da brauche ich etwas hilfe.
>
>
> --> Diese Idee geht nicht, da [mm]f_n[/mm] monoton fallend ist...
Ich hab dir doch bereits geschrieben, dass die [mm] f_n [/mm] eine konvergente Majorante haben und sogar hingewiesen, wie das zu zeigen ist!
Nutze das und den Satz der majorisierten Konvergenz.
Gruß,
Gono
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