www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Maßtheorie" - Messbarkeit
Messbarkeit < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Maßtheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Messbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:03 Sa 03.05.2008
Autor: kittie

Aufgabe
Sei [mm] (\Omega,F,\mu) [/mm] ein Maßraum und [mm] \phi [/mm] : [mm] [0,\infty) \to (0,\infty) [/mm] aufsteigend.

Zeige:

1.) [mm] \phi [/mm] : [mm] ([0,\infty), B\cap [0,\infty)) \to ((0,\infty), B\cap (0,\infty)) [/mm] ist messbar. (B ist die [mm] Borel-\sigma-Algebra) [/mm]

2. Für eine Borel-messbare Funktion f gilt zudem:

[mm] \mu(|f|\ge [/mm] a) [mm] \le \bruch{1}{\phi (a)} \mu (\phi \circ|f|) [/mm]

Hallo zusammen!

Habe Probleme mit obiger Aufgabenstellung und hoffe dabei auf eure Hilfe.

Weiß dass die Definition von Messbarkeit sagt, dass das Urbild jedes Elements aus der [mm] \sigma-Algebra [/mm] des Bildraumes in der [mm] \sigma-Algebra [/mm] des Urbildraums liegen muss.
Leider weiß ich das hier nicht anzuwenden:(

zu Punkt 2 habe ich leider keine Ahnung, wie da ranzugehen ist...

Hoffe ihr könnt mir schnellstmöglich helfen, trotz des schönen Wetters:)

MFG die kittie

        
Bezug
Messbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:59 So 04.05.2008
Autor: rainerS

Hallo!

> Sei [mm](\Omega,F,\mu)[/mm] ein Maßraum und [mm]\phi[/mm] : [mm][0,\infty) \to (0,\infty)[/mm]
> aufsteigend.
>  
> Zeige:
>
> 1.) [mm]\phi[/mm] : [mm]([0,\infty), B\cap [0,\infty)) \to ((0,\infty), B\cap (0,\infty))[/mm]
> ist messbar. (B ist die [mm]Borel-\sigma-Algebra)[/mm]
>  
> 2. Für eine Borel-messbare Funktion f gilt zudem:
>  
> [mm]\mu(|f|\ge[/mm] a) [mm]\le \bruch{1}{\phi (a)} \mu (\phi \circ|f|)[/mm]
>  
> Hallo zusammen!
>  
> Habe Probleme mit obiger Aufgabenstellung und hoffe dabei
> auf eure Hilfe.
>  
> Weiß dass die Definition von Messbarkeit sagt, dass das
> Urbild jedes Elements aus der [mm]\sigma-Algebra[/mm] des Bildraumes
> in der [mm]\sigma-Algebra[/mm] des Urbildraums liegen muss.
>  Leider weiß ich das hier nicht anzuwenden:(

Tipp: [mm] $\phi$ [/mm] ist messbar, wenn für beliebige [mm] $a\in\IR$ [/mm] mindestens eine der Mengen

[mm] $\phi^{-1}((0,a])$ [/mm] , [mm] $\phi^{-1}((0,a))$ [/mm] , [mm] $\phi^{-1}([a,\infty))$, $\phi^{-1}((a,\infty))$ [/mm]

Welche Eigenschaften sind für [mm] $\phi$ [/mm] gegeben?

> zu Punkt 2 habe ich leider keine Ahnung, wie da ranzugehen
> ist...

Du willst das Maß [mm]\mu(|f|\ge a)[/mm] abschätzen. Wie kannst du das für [mm] $\phi\circ [/mm] f$ formulieren?

Viele Grüße
   Rainer


Bezug
                
Bezug
Messbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:25 So 04.05.2008
Autor: kittie

hallo,

> Tipp: [mm]\phi[/mm] ist messbar, wenn für beliebige [mm]a\in\IR[/mm]
> mindestens eine der Mengen
>  
> [mm]\phi^{-1}((0,a])[/mm] , [mm]\phi^{-1}((0,a))[/mm] ,
> [mm]\phi^{-1}([a,\infty))[/mm], [mm]\phi^{-1}((a,\infty))[/mm]
>  
> Welche Eigenschaften sind für [mm]\phi[/mm] gegeben?

Da [mm] \phi [/mm] laut Vorraussetzung aufsteigend ist, sprich monoton wachsend gilt doch, dass die Urbilder von Intervallen, wieder intervalle sind, oder?
jetzt komme ich allerdings nicht mehr weiter:(


> Du willst das Maß [mm]\mu(|f|\ge a)[/mm] abschätzen. Wie kannst du
> das für [mm]\phi\circ f[/mm] formulieren?

Kann ich folgendes machen?:

Setze [mm] B_a [/mm] :={ [mm] |f|\ge [/mm] a } [mm] \Rightarrow B_a \in [/mm] F und es gilt:

[mm] \integral{\phi(|f|) d\mu}\ge \integral_{B_a}{\phi(|f|) d\mu}\ge \integral_{B_a}{\phi(a) d\mu}=\phi(a) \integral_{B_a}{1 d\mu}=\phi(a) \mu(B_a) [/mm]

Mulitiplikation von [mm] 1/\phi(a) [/mm] liefern die Ungeleichung.

Wäre super, wenn du dich nochmal melden könntest.

viele grüße, die kittie

Bezug
                        
Bezug
Messbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:53 So 04.05.2008
Autor: rainerS

Hallo kittie!

> hallo,
>
> > Tipp: [mm]\phi[/mm] ist messbar, wenn für beliebige [mm]a\in\IR[/mm]
> > mindestens eine der Mengen
>  >  
> > [mm]\phi^{-1}((0,a])[/mm] , [mm]\phi^{-1}((0,a))[/mm] ,
> > [mm]\phi^{-1}([a,\infty))[/mm], [mm]\phi^{-1}((a,\infty))[/mm]
>  >  
> > Welche Eigenschaften sind für [mm]\phi[/mm] gegeben?
>  
> Da [mm]\phi[/mm] laut Vorraussetzung aufsteigend ist, sprich monoton
> wachsend gilt doch, dass die Urbilder von Intervallen,
> wieder intervalle sind, oder?

Das ist doch schonmal gut.

>  jetzt komme ich allerdings nicht mehr weiter:(

Alle Intervalle sind Borelmengen und damit messbar.

Sieh auch []hier, Folgerung 1.28.

> > Du willst das Maß [mm]\mu(|f|\ge a)[/mm] abschätzen. Wie kannst du
> > das für [mm]\phi\circ f[/mm] formulieren?
>  
> Kann ich folgendes machen?:
>  
> Setze [mm]B_a :=\{ |f|\ge a \} \Rightarrow B_a \in F[/mm] und es gilt:
>  
> [mm]\integral{\phi(|f|) d\mu}\ge \integral_{B_a}{\phi(|f|) d\mu}\ge \integral_{B_a}{\phi(a) d\mu}=\phi(a) \integral_{B_a}{1 d\mu}=\phi(a) \mu(B_a)[/mm]

>

> Mulitiplikation von [mm]1/\phi(a)[/mm] liefern die Ungeleichung.

Das sieht mir richtig aus.

Steht in der zu beweisenden Ungleichung rechts wirklich [mm] $\mu (\phi \circ|f|)$ [/mm] ? Ich frage deswegen, weil ich es normalerweise nur die Notation [mm] $\mu($Menge) [/mm] kenne, nicht [mm] $\mu$(Funktion). [/mm]

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Maßtheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]