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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:40 Fr 20.11.2009 | | Autor: | Irmchen |
Hallo alle zusammen!
Ich habe hier etwas wahrschienlich ziemlich einfaches, aber ich stehe auf dem Schlauch :-(... Es geht um den Beweis eines kurzen Lemmas.
Lemma :
Sei [mm] \mathcal E_2 [/mm] ein Erzeuger von [mm] \mathcal A_2 [/mm], d.h.
[mm] \sigma( \mathcal E_2) = \mathcal A_2 [/mm]. Dann ist X genau dann messbar, wenn gilt:
[mm] X^{-1} (A) \in \mathcal A_1 [/mm] für alle [mm] A \in \mathcal E_2 [/mm]
Beweis :
Man über legt sich , dass das Mengensystem
[mm] \mathcal F := \{ A \in \mathcal P ( \Omega_2) \ | \ X^{-1} (A) \in \mathcal A_1 \} [/mm]
eine [mm] \sigma [/mm] - Algebra auf [mm] \Omega_2 [/mm] bildet.
[ [mm] X^{-1} ( \Omega_2 ) = \Omega_1 \ , \ X^{-1} ( \emptyset ) = \emptyset \ , \ X^{-1} ( A \backslash B ) = X^{-1} ( A ) \backslash X^{-1} ( B ) \ , \ X^{-1} ( \bigcup_{n=1}^{ \infty } A_n) = \bigcup_{n=1}^{\infty} X^{-1} (A_n) [/mm] ]
Nach Voraussetzung gilt [mm] \mathcal E_2 \subset \mathcal F [/mm].
Daher gilt:
[mm] \mathcal A_2 = \sigma ( \mathcal E_2 ) \subset \sigma ( \mathcal F ) = \mathcal F [/mm]
Ich sehe nicht, dass wir die zwei Richtungen bewiesen haben.. Und warum muss das Mengensystem eine [mm] \sigma [/mm] - Algebra bilden?
Ich denke, dass die Antwort bstimmt offensichtlich ist, aber ich hab im Moment irgendwie nicht den Durchblick :-( ..
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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Hallo Irmchen,
Du hast recht, ihr habt wirklich nur eine Richtung der "genau, dann wenn" Aussage bewiesen, nämlich die Rückrichtung.
Das reicht auch, da die Hinrichtung trivial ist  Warum wirst du nun fragen, dann wollen wir mal.
Schreibe dir mal genau auf, wie ihr meßbar definiert habt. Hast du? Gut, dann zur Hinrichtung:
Vor: X meßbar, z.z [mm] $X^{-1}(A)\in A_1$ [/mm] für alle [mm] $A\in\mathcal{E}_2\subset \mathcal{A}_2$
[/mm]
Nun klar, warum das trivial ist?
Wenn etwas für alle [mm] $A\in \mathcal{A}_2$ [/mm] gilt, dann doch erst recht für alle $A [mm] \in \mathcal{E}_2$, [/mm] wenn [mm] $\mathcal{E}_2\subset\mathcal{A}_2$
[/mm]
Für die Rückrichtung:
Warum das eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] ist, steht doch direkt darunter. Die "Beweiseigenschaften" hast du ja selbst hingeschrieben, indem du die Eigenschaften von X nutzen kannst.
Beweis es doch einfach formal fix, dann siehst du es.
Ist dir denn klar, was der Beweis aussagt? Letztlich zeigt er nur, dass es ausreicht, die Meßbarkeit für den Erzeuger der [mm] \sigma-Algebra [/mm] zu zeigen, anstatt für die [mm] \sigma-Algebra [/mm] selbst. Warum liegt in den Eigenschaften von Abbildungen begründet (denselben, die du brauchst um zu zeigen, dass [mm] \mathcal{F} [/mm] eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] ist).
mFG,
Gono.
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