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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:03 Mo 21.11.2011 | | Autor: | jebote |
| Aufgabe 1 | | Für eine numerische Funktion u: X [mm] \to \overline{\IR} [/mm] auf einer Menge X zeigen Sie, dass aus Messbarkeit von |u| bezüglich einer [mm] \sigma [/mm] -Algebra [mm] \mathcal{F} [/mm] über X nicht die [mm] \mathcal{F} [/mm] -Messbarkeit von u folgt. |
| Aufgabe 2 | Es sei [mm] (X,\mathcal{F}) [/mm] ein messbarer Raum.
Zeigen Sie, dass eine Abbildung f: X [mm] \to \IR^{N} [/mm] genau dann messbar von [mm] (X,\mathcal{F}) [/mm] nach [mm] (\IR^{N},\mathcal{B}(\IR)) [/mm] ist, wenn alle Koordinaten-Funktionen [mm] f_{k}: (X,\mathcal{F}) \to (\IR^{N},\mathcal{B}), 1\le [/mm] k [mm] \le [/mm] N, messbar sind. |
| Aufgabe 3 | | Zeigen Sie, dass jede monotone Funktion f: [mm] \IR \to \IR [/mm] Borel-messbar ist. |
Zu 1.) D.h., dass |u|: X [mm] \to \overline{\IR}^{+}, [/mm] oder? Es werden doch die Komplemente fehlen, oder irre ich?
Zu 2.)Da muss ich ja eine Äquivalenz zeigen, wie gehe ich da am besten vor?
Zu 3.)Klingt relativ einfach, monotonie heißt ja, dass x [mm] \le [/mm] y [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) [mm] \le [/mm] f(y) und entsprechend andersrum. Und eine Borelmenge ist ja u.a. so definiert: [mm] \{ f \le a \} [/mm] für a [mm] \in \IR
[/mm]
Bin um jeden Denkanstoß dankbar. 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:59 Mo 21.11.2011 | | Autor: | Helbig |
Zu (1): Hier mußt Du ja ein Gegenbeispiel angegeben. Es klappt mit der einfachsten [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] auf einer zweielementigen Menge [mm] $X=\{a, b\}$ [/mm] mit $u(a)=-1$ und $u(b)=1$.
Zu (2) und (3): Hier reicht es, jeweils die Meßbarkeit von [mm] $f^{-1}(M)$ [/mm] für alle $M$ aus einem erzeugenden Mengensystem zu zeigen. Bei (2) sind das die offenen Mengen in [mm] $\IR^n$ [/mm] bzw. in [mm] $\IR$, [/mm] bei (3) sind das alle Intervalle der Form [mm] $[-\infty, [/mm] a]$, [mm] $a\in\IR$.
[/mm]
Hilft das?
Grüße,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 Do 24.11.2011 | | Autor: | jebote |
Zu 1.)
Wenn ich doch [mm] X=\{a,b\} [/mm] habe mit u(a)=-1 und u(b)=1.
Dann ist |u(a)|=|u(b)|=1.
Somit ist doch [mm] \mathcal{F} [/mm] = [mm] \{\emptyset, {a},X\} [/mm] aber das ist keine [mm] \sigma [/mm] -Algebra, weil das Komplement nicht vorhanden ist.
Ich soll aber aus [mm] \mathcal{F} [/mm] -Messbarkeit von |u| zeigen, dass u nicht [mm] \mathcal{F} [/mm] -Messbar ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:40 Do 24.11.2011 | | Autor: | Helbig |
> Zu 1.)
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> Wenn ich doch [mm]X=\{a,b\}[/mm] habe mit u(a)=-1 und u(b)=1.
> Dann ist |u(a)|=|u(b)|=1.
> Somit ist doch [mm]\mathcal{F}[/mm] = [mm]\{\emptyset, {a},X\}[/mm] aber das
Nein. Sondern [mm] ${\cal F}=\bigl\{\emptyset,\;X\}$. [/mm] Und $u$ ist nicht meßbar, aber $|u|$ ist meßbar, also genau was Du haben willst.
Grüße,
Wolfgang
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