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| Aufgabe | Seien [mm] (X,A_{X}) [/mm] und [mm] (Y,A_{Y}) [/mm] messbare Räume. Zeigen Sie:
Ist f: X [mm] \to [/mm] Y eine Abbildung und [mm] \varepsilon [/mm] ein Erzeuger von [mm] A_{Y}, [/mm] so ist f genau dann [mm] A_{X}-A_{Y}- [/mm] messbar wenn gilt
[mm] f^{-1}(E) \in A_{X}, [/mm] E [mm] \in \varepsilon [/mm] |
Hallo zusammen bin neu in Maßtheorie und hab noch einige Probleme mit den Aufgaben
Hab zuerst versucht die Hinrichtung zu beweisen
Also f [mm] A_{X}-A_{Y} [/mm] - messbar dann folgt [mm] f^{-1}(A_{Y}) \subset A_{X}
[/mm]
jetzt folgt doch aber unmittelbar da E [mm] \in \varepsilon [/mm] Erzeuger dass
[mm] f^{-1}(E) \subset f^{-1}(A_{Y}) \subset A_{X} [/mm] für E [mm] \in \varepsilon [/mm]
soweit richtig?
grüße eddie
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Hiho,
> Hab zuerst versucht die Hinrichtung zu beweisen
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> Also f [mm]A_{X}-A_{Y}[/mm] - messbar dann folgt [mm]f^{-1}(A_{Y}) \subset A_{X}[/mm]
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> jetzt folgt doch aber unmittelbar da E [mm]\in \varepsilon[/mm]
> Erzeuger dass
> [mm]f^{-1}(E) \subset f^{-1}(A_{Y}) \subset A_{X}[/mm] für E [mm]\in \varepsilon[/mm]
>
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> soweit richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Und nun die Rückrichtung 
MFG,
Gono.
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Ok hab die Rückrichtung probiert
[mm] f^{-1}(E)\in A_{X} [/mm] E [mm] \in \varepsilon
[/mm]
Definiere U:= {Q [mm] \subset [/mm] Y | [mm] f^{-1}(Q)\in A_{X} [/mm] }
[mm] \Rightarrow [/mm] f ist jetzt [mm] A_{X}-A_{Y}-messbar [/mm] wenn [mm] A_{Y} \subset [/mm] U gilt
dies gilt wenn [mm] \varepsilon \subset [/mm] U ist , d.h. wenn [mm] f^{-1} (E)\subset A_{X} [/mm] erfüllt ist für alle E [mm] \in \varepsilon [/mm]
Das gilt schon nach Annahme
fertig?
lg eddie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:24 Mo 23.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo eddiebingel,
> [mm]f^{-1}(E)\in A_{X}[/mm] E [mm]\in \varepsilon[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Definiere U:= $\{$Q
> [mm]\subset[/mm] Y | [mm]f^{-1}(Q)\in A_{X}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\}$
> [mm]\Rightarrow[/mm] f ist jetzt [mm]A_{X}-A_{Y}-messbar[/mm] wenn [mm]A_{Y} \subset[/mm]
> U gilt
> dies gilt wenn [mm]\varepsilon \subset[/mm] U ist , d.h. wenn
> [mm]f^{-1} (E)\subset A_{X}[/mm] erfüllt ist für alle E [mm]\in \varepsilon[/mm]
> Das gilt schon nach Annahme
Das sieht gut aus!
(In der vorletzten Zeile muss es $ [mm] f^{-1} (E)\in A_{X} [/mm] $ statt $ [mm] f^{-1} (E)\subset A_{X} [/mm] $ heißen.)
Warum genügt es, um [mm] $A_Y\subset [/mm] U$ zu erhalten, nur [mm] $\varepsilon\subset [/mm] U$ zu zeigen? Da fehlt noch ein entscheidendes Argument.
Viele Grüße
Tobias
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