Messbarkeit einer Funktion < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Ist [mm] $f:(\IR, \mathcal{B}_{\IR}) \to (\overline{\IR}, \overline{\mathcal{B}_{\IR}}), [/mm] x [mm] \mapsto \frac{1}{x}$ [/mm] messbar?
b) Ist [mm] $g:(\IR, \mathcal{B}_{\IR}) \to (\IR, \mathcal{B}_{\IR}), [/mm] x [mm] \mapsto \begin{cases}\frac{1}{x}, \quad\quad x \not= 0\\ 0, \quad\quad x = 0. \end{cases}$ [/mm] messbar?
[mm] $\mathcal{B}_{\IR}$ [/mm] bezeichnet die Borelsche Sigma-Algebra über [mm] $\IR$, [/mm] und [mm] $\overline{\IR} [/mm] = [mm] \IR \cup \{\pm \infty\}$ [/mm] sowie [mm] $\overline{\mathcal{B}_{\IR}}$ [/mm] die dazu gehörige Borelsche Sigma-Algebra. |
Hallo,
Es wird ja in Maßtheorie üblicherweise $1/0 = [mm] \infty$ [/mm] und $0 * [mm] \infty [/mm] = 0$ gesetzt (per Definition). Würde das bedeuten, dass dann $f$ durch
$f(x) = [mm] \begin{cases}\frac{1}{x},\quad\quad x \not= 0\\
\infty,\quad\quad x = 0
\end{cases}$
[/mm]
gegeben ist? Es irritiert mich, dass ich ja genauso gut $f(0) = [mm] -\infty$ [/mm] setzen könnte.
----
Kann man die Messbarkeit so begründen, dass
$a,b : [mm] (\IR, \mathcal{B}_{\IR}) \to (\IR, \mathcal{B}_{\IR}), [/mm] a(x) = 1, b(x) = x$
messbare Funktionen sind (da konstant / stetig), somit sind auch
$a,b : [mm] (\IR, \mathcal{B}_{\IR}) \to (\overline{\IR}, \overline{\mathcal{B}_{\IR}}), [/mm] a(x) = 1, b(x) = x$
messbar und somit der Quotient $a/b$ ?
Das würde ja dann nur funktionieren, weil $1/0$ eben als [mm] $\infty$ [/mm] definiert ist...
----
Bei b) könnte man ja zunächst wie bei (a) vorgehen, und dann noch die Funktion
$c : [mm] (\IR, \mathcal{B}_{\IR}) \to (\overline{\IR}, \overline{\mathcal{B}_{\IR}}), [/mm] c(x) = [mm] 1_{\IR \textbackslash \{0\}}(x)$
[/mm]
(Indikatorfunktion)
einführen. Diese ist messbar, und es ist
$g = c * (a/b)$
wegen der Definition [mm] $0*\infty [/mm] = 0$ an der Stelle $x = 0$.
Auch hier klappt das dann ja nur, weil [mm] $0*\infty [/mm] = 0$ ist. Ich bin mir aufgrund der Definition [mm] $0*\infty [/mm] = 0$ und wo ich das benutzen darf unsicher, darf man das so machen?
Danke für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:30 Do 10.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> a) Ist [mm]f:(\IR, \mathcal{B}_{\IR}) \to (\overline{\IR}, \overline{\mathcal{B}_{\IR}}), x \mapsto \frac{1}{x}[/mm]
> messbar?
>
>
> b) Ist [mm]g:(\IR, \mathcal{B}_{\IR}) \to (\IR, \mathcal{B}_{\IR}), x \mapsto \begin{cases}\frac{1}{x}, \quad\quad x \not= 0\\ 0, \quad\quad x = 0. \end{cases}[/mm]
> messbar?
>
> [mm]\mathcal{B}_{\IR}[/mm] bezeichnet die Borelsche Sigma-Algebra
> über [mm]\IR[/mm], und [mm]\overline{\IR} = \IR \cup \{\pm \infty\}[/mm]
> sowie [mm]\overline{\mathcal{B}_{\IR}}[/mm] die dazu gehörige
> Borelsche Sigma-Algebra.
>
>
>
>
>
> Hallo,
>
> Es wird ja in Maßtheorie üblicherweise [mm]1/0 = \infty[/mm] und [mm]0 * \infty = 0[/mm]
> gesetzt (per Definition). Würde das bedeuten, dass dann [mm]f[/mm]
> durch
>
> $f(x) = [mm]\begin{cases}\frac{1}{x},\quad\quad x \not= 0\\
\infty,\quad\quad x = 0
\end{cases}$[/mm]
>
> gegeben ist? Es irritiert mich, dass ich ja genauso gut
> [mm]f(0) = -\infty[/mm] setzen könnte.
Das ist völlig wurscht.
f ist messbar [mm] \gdw [/mm] für jedes a [mm] \in \overline{\IR} [/mm] ist [mm] f^{-1}((a,\infty])\in \mathcal{B}_{\IR}
[/mm]
>
> ----
>
> Kann man die Messbarkeit so begründen, dass
>
> [mm]a,b : (\IR, \mathcal{B}_{\IR}) \to (\IR, \mathcal{B}_{\IR}), a(x) = 1, b(x) = x[/mm]
>
> messbare Funktionen sind (da konstant / stetig), somit sind
> auch
>
> [mm]a,b : (\IR, \mathcal{B}_{\IR}) \to (\overline{\IR}, \overline{\mathcal{B}_{\IR}}), a(x) = 1, b(x) = x[/mm]
>
> messbar und somit der Quotient [mm]a/b[/mm] ?
> Das würde ja dann nur funktionieren, weil [mm]1/0[/mm] eben als
> [mm]\infty[/mm] definiert ist...
>
> ----
>
> Bei b) könnte man ja zunächst wie bei (a) vorgehen, und
> dann noch die Funktion
Auch hier:
f ist messbar $ [mm] \gdw [/mm] $ für jedes a $ [mm] \in \IR [/mm] $ ist $ [mm] f^{-1}((a,\infty])\in \mathcal{B}_{\IR} [/mm] $
FRED
>
> [mm]c : (\IR, \mathcal{B}_{\IR}) \to (\overline{\IR}, \overline{\mathcal{B}_{\IR}}), c(x) = 1_{\IR \textbackslash \{0\}}(x)[/mm]
>
> (Indikatorfunktion)
> einführen. Diese ist messbar, und es ist
>
> [mm]g = c * (a/b)[/mm]
>
> wegen der Definition [mm]0*\infty = 0[/mm] an der Stelle [mm]x = 0[/mm].
>
> Auch hier klappt das dann ja nur, weil [mm]0*\infty = 0[/mm] ist.
> Ich bin mir aufgrund der Definition [mm]0*\infty = 0[/mm] und wo ich
> das benutzen darf unsicher, darf man das so machen?
>
> Danke für Eure Hilfe!
>
> Grüße,
> Stefan
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Hallo Fred,
danke für deine Antwort!
> > Es wird ja in Maßtheorie üblicherweise [mm]1/0 = \infty[/mm] und [mm]0 * \infty = 0[/mm]
> > gesetzt (per Definition). Würde das bedeuten, dass dann [mm]f[/mm]
> > durch
> >
> > $f(x) = [mm]\begin{cases}\frac{1}{x},\quad\quad x \not= 0\\
\infty,\quad\quad x = 0 \end{cases}$[/mm]
>
> >
> > gegeben ist? Es irritiert mich, dass ich ja genauso gut
> > [mm]f(0) = -\infty[/mm] setzen könnte.
>
> Das ist völlig wurscht.
>
> f ist messbar [mm]\gdw[/mm] für jedes a [mm]\in \overline{\IR}[/mm] ist
> [mm]f^{-1}((a,\infty])\in \mathcal{B}_{\IR}[/mm]
Aber abgesehen von der Messbarkeit ist es doch für die Funktionsdefinition relevant, ob da jetzt [mm] $+\infty$ [/mm] oder [mm] $-\infty$ [/mm] steht?
> > Kann man die Messbarkeit so begründen, dass
> >
> > [mm]a,b : (\IR, \mathcal{B}_{\IR}) \to (\IR, \mathcal{B}_{\IR}), a(x) = 1, b(x) = x[/mm]
>
> >
> > messbare Funktionen sind (da konstant / stetig), somit sind
> > auch
> >
> > [mm]a,b : (\IR, \mathcal{B}_{\IR}) \to (\overline{\IR}, \overline{\mathcal{B}_{\IR}}), a(x) = 1, b(x) = x[/mm]
>
> >
> > messbar und somit der Quotient [mm]a/b[/mm] ?
> > Das würde ja dann nur funktionieren, weil [mm]1/0[/mm] eben als
> > [mm]\infty[/mm] definiert ist...
> >
> > ----
> >
> > Bei b) könnte man ja zunächst wie bei (a) vorgehen, und
> > dann noch die Funktion
>
>
> Auch hier:
>
> f ist messbar [mm]\gdw[/mm] für jedes a [mm]\in \IR[/mm] ist
> [mm]f^{-1}((a,\infty])\in \mathcal{B}_{\IR}[/mm]
Damit könnte ich das beweisen. (Oder worauf zielt dein Hinweis ab?)
Mir geht es aber vor allem darum, ob meine vorgeschlagenen Lösungswege erlaubt sind.
> > [mm]c : (\IR, \mathcal{B}_{\IR}) \to (\overline{\IR}, \overline{\mathcal{B}_{\IR}}), c(x) = 1_{\IR \textbackslash \{0\}}(x)[/mm]
>
> >
> > (Indikatorfunktion)
> > einführen. Diese ist messbar, und es ist
> >
> > [mm]g = c * (a/b)[/mm]
> >
> > wegen der Definition [mm]0*\infty = 0[/mm] an der Stelle [mm]x = 0[/mm].
> >
>
> > Auch hier klappt das dann ja nur, weil [mm]0*\infty = 0[/mm] ist.
> > Ich bin mir aufgrund der Definition [mm]0*\infty = 0[/mm] und wo ich
> > das benutzen darf unsicher, darf man das so machen?
Darf ich das machen?
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 Do 10.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
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> Hallo Fred,
>
> danke für deine Antwort!
>
>
> > > Es wird ja in Maßtheorie üblicherweise [mm]1/0 = \infty[/mm] und [mm]0 * \infty = 0[/mm]
> > > gesetzt (per Definition). Würde das bedeuten, dass dann [mm]f[/mm]
> > > durch
> > >
> > > $f(x) = [mm]\begin{cases}\frac{1}{x},\quad\quad x \not= 0\\
\infty,\quad\quad x = 0 \end{cases}$[/mm]
>
> >
> > >
> > > gegeben ist? Es irritiert mich, dass ich ja genauso gut
> > > [mm]f(0) = -\infty[/mm] setzen könnte.
> >
> > Das ist völlig wurscht.
> >
> > f ist messbar [mm]\gdw[/mm] für jedes a [mm]\in \overline{\IR}[/mm] ist
> > [mm]f^{-1}((a,\infty])\in \mathcal{B}_{\IR}[/mm]
>
>
> Aber abgesehen von der Messbarkeit ist es doch für die
> Funktionsdefinition relevant, ob da jetzt [mm]+\infty[/mm] oder
> [mm]-\infty[/mm] steht?
für die Funktion an sich schon. Aber für die Messbarkeitsuntersuchung nicht. (Hast Du eine Idee, warum?)
> > > Kann man die Messbarkeit so begründen, dass
> > >
> > > [mm]a,b : (\IR, \mathcal{B}_{\IR}) \to (\IR, \mathcal{B}_{\IR}), a(x) = 1, b(x) = x[/mm]
>
> >
> > >
> > > messbare Funktionen sind (da konstant / stetig), somit sind
> > > auch
> > >
> > > [mm]a,b : (\IR, \mathcal{B}_{\IR}) \to (\overline{\IR}, \overline{\mathcal{B}_{\IR}}), a(x) = 1, b(x) = x[/mm]
>
> >
> > >
> > > messbar und somit der Quotient [mm]a/b[/mm] ?
> > > Das würde ja dann nur funktionieren, weil [mm]1/0[/mm] eben
> als
> > > [mm]\infty[/mm] definiert ist...
> > >
> > > ----
> > >
> > > Bei b) könnte man ja zunächst wie bei (a) vorgehen, und
> > > dann noch die Funktion
> >
> >
> > Auch hier:
> >
> > f ist messbar [mm]\gdw[/mm] für jedes a [mm]\in \IR[/mm] ist
> > [mm]f^{-1}((a,\infty])\in \mathcal{B}_{\IR}[/mm]
>
>
> Damit könnte ich das beweisen. (Oder worauf zielt dein
> Hinweis ab?)
> Mir geht es aber vor allem darum, ob meine vorgeschlagenen
> Lösungswege erlaubt sind.
Wenn ihr entsprechende Sätze nicht in den Vorlesungen/Übungen hattet, wo quasi das mitenthalten ist, was Du benutzen willst, dann reicht das natürlich nicht. Du kannst natürlich hergehen, und versuchen, eine Aussage "für Deine Aufgaben passend" 'möglichst allgemein' zu formulieren und diese dann beweisen. Aber im Endeffekt läuft doch eh alles auf Freds Hinweis hinaus - bzw. auf die Definition der Messbarkeit (schau mal nach, wie die z.B. definiert ist, wenn man irgendwo [mm] $\overline{\IR}$ [/mm] im Spiel hat etc.). Also irgendwie denke ich bei Funktionen $f(x)=1/x$ auf [mm] $\IR \setminus \{0\}$ [/mm] mit [mm] $f(0)=p\,$ [/mm] direkt daran, dass die schon als Funktion [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] in trivialer Weise messbar ist. (Soviel ändert sich an den Überlegungen diesbezüglich nicht, wenn man sowas wie [mm] $f(0)=\infty$ [/mm] "einbaut". Da gibt's dann doch nur Sonderfälle, die man durchackern muss - das folgt dann etwa aus der entsprechenden Definition, wann man solche Funktionen "messbar" nennen darf...)
Da macht man einfach eine Fallunterscheidung und benutzt Dinge, die man in der Wahrsch.-Th./Maß-Th. schnell beigebracht bekommen hat...
P.S.
Ist Dir eigentlich klar, warum Freds Vorschlag funktioniert? Das hat was mit "einem Erzeuger" zu tun und einem Satz, wie man damit dann die Messbarkeit einer Funktion "schneller" erkennt. Denn eigentlich heißt ja eine Funktion messbar, wenn das Urbild jeder Menge aus der Sigma-Algebra des Zielbereichs auch ein Element der Sigma-Algebra das Definitionsbereichs ist...
Gruß,
Marcel
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
danke für deine Antwort!
> > > > Es wird ja in Maßtheorie üblicherweise [mm]1/0 = \infty[/mm] und [mm]0 * \infty = 0[/mm]
> > > > gesetzt (per Definition). Würde das bedeuten, dass dann [mm]f[/mm]
> > > > durch
> > > >
> > > > $f(x) = [mm]\begin{cases}\frac{1}{x},\quad\quad x \not= 0\\
\infty,\quad\quad x = 0 \end{cases}$[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > gegeben ist? Es irritiert mich, dass ich ja genauso gut
> > > > [mm]f(0) = -\infty[/mm] setzen könnte.
> > >
> > > Das ist völlig wurscht.
> > >
> > > f ist messbar [mm]\gdw[/mm] für jedes a [mm]\in \overline{\IR}[/mm] ist
> > > [mm]f^{-1}((a,\infty])\in \mathcal{B}_{\IR}[/mm]
> >
> >
> > Aber abgesehen von der Messbarkeit ist es doch für die
> > Funktionsdefinition relevant, ob da jetzt [mm]+\infty[/mm] oder
> > [mm]-\infty[/mm] steht?
>
> für die Funktion an sich schon. Aber für die
> Messbarkeitsuntersuchung nicht. (Hast Du eine Idee,
> warum?)
Weil der Wert der Funktion an dieser einzelnen Stelle irrelevant ist.
Jedes Intervall [mm] $(a,\infty]$ [/mm] enthält entweder $f(0)$ oder nicht, d.h.
[mm] $f^{-1}((a, \infty])$ [/mm] enthält entweder $0$ oder nicht. Die Hinzunahme von $0$ zu einer Menge ändert aber nichts an deren Messbarkeit (Borelsche Sigma-Algebra enthält einelementige Mengen).
> Wenn ihr entsprechende Sätze nicht in den
> Vorlesungen/Übungen hattet, wo quasi das mitenthalten ist,
> was Du benutzen willst, dann reicht das natürlich nicht.
Wir hatten folgenden Satz:
Sind $f,g: [mm] \IR \to \overline{\IR}$ [/mm] messbare numerische Funktionen, so ist $f*g$ ebenfalls messbare numerische Funktion. Den Satz würde ich gern anwenden.
An der Stelle $x = 0$ tritt dann aber die Situation $f(0)*g(0) = [mm] 0*\infty$ [/mm] auf. Ich erhalte nur den gewünschten Wert [mm] $0*\infty [/mm] = 0$, weil das in der Maßtheorie so definiert ist.
Mir ist klar, dass der einzelne Punkt für die Messbarkeitsuntersuchung irrelevant ist.
Ich frage mich eben nur, ob der Satz von dieser Definition "wissen" muss. Es könnte ja zum Beispiel sein, dass ich zwei messbare Funktionen f,g habe (die ganz häufig Werte 0 und [mm] \infty [/mm] annehmen) und das Produkt f*g nur aufgrund der Definition [mm] $0*\infty [/mm] = 0$ irgendwie nicht mehr messbar ist.
> Du kannst natürlich hergehen, und versuchen, eine Aussage
> "für Deine Aufgaben passend" 'möglichst allgemein' zu
> formulieren und diese dann beweisen. Aber im Endeffekt
> läuft doch eh alles auf Freds Hinweis hinaus - bzw. auf
> die Definition der Messbarkeit (schau mal nach, wie die
> z.B. definiert ist, wenn man irgendwo [mm]\overline{\IR}[/mm] im
> Spiel hat etc.). Also irgendwie denke ich bei Funktionen
> [mm]f(x)=1/x[/mm] auf [mm]\IR \setminus \{0\}[/mm] mit [mm]f(0)=p\,[/mm] direkt daran,
> dass die schon als Funktion [mm]\IR \to \IR[/mm] in trivialer Weise
> messbar ist. (Soviel ändert sich an den Überlegungen
> diesbezüglich nicht, wenn man sowas wie [mm]f(0)=\infty[/mm]
> "einbaut". Da gibt's dann doch nur Sonderfälle, die man
> durchackern muss - das folgt dann etwa aus der
> entsprechenden Definition, wann man solche Funktionen
> "messbar" nennen darf...)
 Ja, das wurde uns im Skript glaub ich schon abgenommen.
> Ist Dir eigentlich klar, warum Freds Vorschlag
> funktioniert? Das hat was mit "einem Erzeuger" zu tun und
> einem Satz, wie man damit dann die Messbarkeit einer
> Funktion "schneller" erkennt. Denn eigentlich heißt ja
> eine Funktion messbar, wenn das Urbild jeder Menge aus der
> Sigma-Algebra des Zielbereichs auch ein Element der
> Sigma-Algebra das Definitionsbereichs ist...
Ja den Satz kenne ich
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:23 Fr 11.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Stefan,
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> Hallo Marcel,
>
> danke für deine Antwort!
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> > > > > Es wird ja in Maßtheorie üblicherweise [mm]1/0 = \infty[/mm] und [mm]0 * \infty = 0[/mm]
> > > > > gesetzt (per Definition). Würde das bedeuten, dass dann [mm]f[/mm]
> > > > > durch
> > > > >
> > > > > $f(x) = [mm]\begin{cases}\frac{1}{x},\quad\quad x \not= 0\\
\infty,\quad\quad x = 0 \end{cases}$[/mm]
>
> >
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> > > > > gegeben ist? Es irritiert mich, dass ich ja genauso gut
> > > > > [mm]f(0) = -\infty[/mm] setzen könnte.
> > > >
> > > > Das ist völlig wurscht.
> > > >
> > > > f ist messbar [mm]\gdw[/mm] für jedes a [mm]\in \overline{\IR}[/mm] ist
> > > > [mm]f^{-1}((a,\infty])\in \mathcal{B}_{\IR}[/mm]
> > >
> > >
> > > Aber abgesehen von der Messbarkeit ist es doch für die
> > > Funktionsdefinition relevant, ob da jetzt [mm]+\infty[/mm] oder
> > > [mm]-\infty[/mm] steht?
> >
> > für die Funktion an sich schon. Aber für die
> > Messbarkeitsuntersuchung nicht. (Hast Du eine Idee,
> > warum?)
>
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>
> Weil der Wert der Funktion an dieser einzelnen Stelle
> irrelevant ist.
> Jedes Intervall [mm](a,\infty][/mm] enthält entweder [mm]f(0)[/mm] oder
> nicht, d.h.
> [mm]f^{-1}((a, \infty])[/mm] enthält entweder [mm]0[/mm] oder nicht. Die
> Hinzunahme von [mm]0[/mm] zu einer Menge ändert aber nichts an
> deren Messbarkeit (Borelsche Sigma-Algebra enthält
> einelementige Mengen).
>
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> > Wenn ihr entsprechende Sätze nicht in den
> > Vorlesungen/Übungen hattet, wo quasi das mitenthalten ist,
> > was Du benutzen willst, dann reicht das natürlich nicht.
>
> Wir hatten folgenden Satz:
> Sind [mm]f,g: \IR \to \overline{\IR}[/mm] messbare numerische
> Funktionen, so ist [mm]f*g[/mm] ebenfalls messbare numerische
> Funktion. Den Satz würde ich gern anwenden.
okay. Das kannst Du im Wesentlichen schon: Mach' mal eine Zusatzüberlegung: Welchen Einfluss haben "die Funktionswerte von endlich vielen Stellen des Definitionsbereichs" denn auf die Messbarkeit einer Funktion?
Oder anders gesagt: Kann ich an der "Messbarkeitseigenschaft" einer Funktion etwas kaputtmachen oder reparieren, wenn ich die Funktion auf einer endlichen Menge abändere? (Man kann es sogar noch allgemeiner mit Nullmengen formulieren... die allgemeinste Formulierung habe ich nun nicht im Kopf.)
Was kann sich denn dann alles ändern?
P.S.
Der Rest war Dir ja klar, wenn ich das richtig gesehen habe!
P.P.S.
Mit der obigen Zusatzüberlegung wird Dir dann auch klar, dass [mm] $0*\infty$ [/mm] wie auch immer hätte definiert sein können, solange nur [mm] $0*\infty$ [/mm] aus [mm] $\overline{\IR}$ [/mm] bleibt!
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
danke für deine Antwort!
> > Wir hatten folgenden Satz:
> > Sind [mm]f,g: \IR \to \overline{\IR}[/mm] messbare numerische
> > Funktionen, so ist [mm]f*g[/mm] ebenfalls messbare numerische
> > Funktion. Den Satz würde ich gern anwenden.
>
> okay. Das kannst Du im Wesentlichen schon: Mach' mal eine
> Zusatzüberlegung: Welchen Einfluss haben "die
> Funktionswerte von endlich vielen Stellen des
> Definitionsbereichs" denn auf die Messbarkeit einer
> Funktion?
Nein, grob gesprochen aufgrund dessen, dass die Borelsche Sigma-Algebra alle abzählbaren Mengen enthält.
> Oder anders gesagt: Kann ich an der
> "Messbarkeitseigenschaft" einer Funktion etwas kaputtmachen
> oder reparieren, wenn ich die Funktion auf einer endlichen
> Menge abändere? (Man kann es sogar noch allgemeiner mit
> Nullmengen formulieren... die allgemeinste Formulierung
> habe ich nun nicht im Kopf.)
> Was kann sich denn dann alles ändern?
Nichts an der Messbarkeit, solange die Menge der Stellen, auf denen ich etwas geändert habe, in der Borelschen Sigma-Algebra liegt.
Aber was ist, wenn das nicht der Fall ist? D.h. wenn aufgrund der Konvention [mm] $0*\infty$ [/mm] eine Menge von Stellen betroffen ist, die nicht in der Borelschen Sigma-Algebra liegt?
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:50 Fr 11.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Stefan,
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> Hallo Marcel,
>
> danke für deine Antwort!
>
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> > > Wir hatten folgenden Satz:
> > > Sind [mm]f,g: \IR \to \overline{\IR}[/mm] messbare numerische
> > > Funktionen, so ist [mm]f*g[/mm] ebenfalls messbare numerische
> > > Funktion. Den Satz würde ich gern anwenden.
> >
> > okay. Das kannst Du im Wesentlichen schon: Mach' mal eine
> > Zusatzüberlegung: Welchen Einfluss haben "die
> > Funktionswerte von endlich vielen Stellen des
> > Definitionsbereichs" denn auf die Messbarkeit einer
> > Funktion?
>
> Nein, grob gesprochen aufgrund dessen, dass die Borelsche
> Sigma-Algebra alle abzählbaren Mengen enthält.
>
> > Oder anders gesagt: Kann ich an der
> > "Messbarkeitseigenschaft" einer Funktion etwas kaputtmachen
> > oder reparieren, wenn ich die Funktion auf einer endlichen
> > Menge abändere? (Man kann es sogar noch allgemeiner mit
> > Nullmengen formulieren... die allgemeinste Formulierung
> > habe ich nun nicht im Kopf.)
> > Was kann sich denn dann alles ändern?
>
> Nichts an der Messbarkeit, solange die Menge der Stellen,
> auf denen ich etwas geändert habe, in der Borelschen
> Sigma-Algebra liegt.
>
> Aber was ist, wenn das nicht der Fall ist? D.h. wenn
> aufgrund der Konvention [mm]0*\infty[/mm] eine Menge von Stellen
> betroffen ist, die nicht in der Borelschen Sigma-Algebra
> liegt?
die Frage verstehe ich nicht: Du "Änderungsstellen" sind "Definitionsbereichsstellen". Wenn man eine Funktion nur auf endlich vielen Stellen des Definitionsbereichs abändert (ob das nun [mm] $\IR$ [/mm] oder [mm] $\overline{\IR}$ [/mm] sei), kann ich da nix kaputtmachen. Anders gesagt:
Selbst, wenn ich eine messbare Funktion [mm] $\IR \to \overline{\IR}$ [/mm] habe, die nur an endlich vielen Stellen den Wert [mm] $\infty$ [/mm] annimmt und sonst nur Werte in [mm] $\IR\,,$ [/mm] so kann ich "sie zu einer messbaren Funktion [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] machen, indem ich die Funktion an diesen Stellen auf den Wert [mm] $0\,$ [/mm] setze".
Schreib' mal bitte Dein Problem formal auf, sowas wie "Warum ist [mm] $f^{-1}(...)$ [/mm] dann auch Bestandteil der Borel-Sigma-Algebra des Definitionsbereichs..."oder wie auch immer. Kann eh sein,dass, wenn Du die Frage formulieren willst, schon selbst siehst, wo Du vielleicht "in die falsche Richtung" denkst.
P.S.
Mach's schlimmstenfalls wirklich mal über die Definition:
Sei etwa $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] messbar, die Sigma-Algebra sei jeweils die Borel-Sigma-Algebra. Sei nun $E [mm] \subseteq \IR$ [/mm] endlich und sei $g: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $g_{|\IR \setminus E}=f\,.$ [/mm] Dann ist auch [mm] $g\,$ [/mm] messbar:
Sei dazu [mm] $Y\,$ [/mm] in der Borel-Sigma-Algebra. Überlege Dir, wie Du [mm] $g^{-1}(Y)$ [/mm] in Verbindung mit [mm] $f^{-1}(Y)$ [/mm] bringen kannst - und Du weißt ja: Wenn ich eine Menge aus der Borel-Sigma-Algebra habe und zu dieser eine endlich viele reelle Zahlen hinzufüge oder endlich viele Elemente aus dieser entferne, dann bleibt das eine...? Und nun ja: Teilmengen endlicher Mengen sind nun halt auch endlich.
Versuch' mal, das formal alles zusammenzuschreiben (ich hoffe, Du erahnst, worauf ich hinaus will)!
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
zunächst danke für deine Geduld!
Ich erkenne langsam, dass das irgendwie alles egal ist, bin mir aber noch nicht sicher.
Nochmal der Satz: $f,g: [mm] \IR \to \overline{\IR}$ [/mm] messbar --> $f*g: [mm] \IR \to \overline{\IR}$ [/mm] messbar.
Mal angenommen, wir nehmen ein $ A [mm] \in P(\IR) \backlash \IB_{\IR}$ [/mm] und definieren $f = [mm] 1_{A}$ [/mm] (Mir ist klar, dass $f$ hier nicht messbar ist, es soll bloss ein Beispiel sein), sowie g = [mm] \infty.
[/mm]
Dann gilt $f*g = [mm] \infty [/mm] * [mm] 1_A$, [/mm] d.h. die Konvention [mm] 0*\infty [/mm] = 0
kommt an überabzählbar vielen Stellen zum Tragen.
Könnte das nicht Probleme geben?
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:47 Mo 14.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Stefan,
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> Hallo Marcel,
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> zunächst danke für deine Geduld!
> Ich erkenne langsam, dass das irgendwie alles egal ist,
> bin mir aber noch nicht sicher.
>
> Nochmal der Satz: [mm]f,g: \IR \to \overline{\IR}[/mm] messbar -->
> [mm]f*g: \IR \to \overline{\IR}[/mm] messbar.
>
> Mal angenommen, wir nehmen ein [mm]A \in P(\IR) \backlash \IB_{\IR}[/mm]
> und definieren [mm]f = 1_{A}[/mm] (Mir ist klar, dass [mm]f[/mm] hier nicht
> messbar ist, es soll bloss ein Beispiel sein), sowie g =
> [mm]\infty.[/mm]
> Dann gilt [mm]f*g = \infty * 1_A[/mm], d.h. die Konvention [mm]0*\infty[/mm]
> = 0
> kommt an überabzählbar vielen Stellen zum Tragen.
>
> Könnte das nicht Probleme geben?
ich versteh' das Beispiel nicht: Wenn [mm] $f\,$ [/mm] schon nicht messbar ist, kannst Du nicht den Satz, dass, wenn [mm] $f\,$ [/mm] und [mm] $g\,$ [/mm] messbar sind, dann auch [mm] $f*g\,$ [/mm] messbar ist, anwenden.
Ich meine: Wenn ich die Aussage $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ habe, kann ich nicht sagen:
Aber wird da nicht etwas falsch, wenn ich [mm] $\neg [/mm] A$ habe? Nein:
$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ ist logisch äquivalent zu [mm] $(\neg [/mm] B) [mm] \Rightarrow (\neg A)\,.$ [/mm] (Kontraposition!)
Wenn man nur die Aussage $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ hat, dann weiß man damit alleine ja noch nicht, welche der Aussagen [mm] $(\neg [/mm] A) [mm] \Rightarrow [/mm] B$ und [mm] $(\neg [/mm] A) [mm] \Rightarrow (\neg [/mm] B)$ stimmt.
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
> Hallo Stefan,
>
> >
> > Hallo Marcel,
> >
> > zunächst danke für deine Geduld!
> > Ich erkenne langsam, dass das irgendwie alles egal ist,
> > bin mir aber noch nicht sicher.
> >
> > Nochmal der Satz: [mm]f,g: \IR \to \overline{\IR}[/mm] messbar -->
> > [mm]f*g: \IR \to \overline{\IR}[/mm] messbar.
> >
> > Mal angenommen, wir nehmen ein [mm]A \in P(\IR) \backlash \IB_{\IR}[/mm]
> > und definieren [mm]f = 1_{A}[/mm] (Mir ist klar, dass [mm]f[/mm] hier nicht
> > messbar ist, es soll bloss ein Beispiel sein), sowie g =
> > [mm]\infty.[/mm]
> > Dann gilt [mm]f*g = \infty * 1_A[/mm], d.h. die Konvention
> [mm]0*\infty[/mm]
> > = 0
> > kommt an überabzählbar vielen Stellen zum Tragen.
> >
> > Könnte das nicht Probleme geben?
>
> ich versteh' das Beispiel nicht: Wenn [mm]f\,[/mm] schon nicht
> messbar ist, kannst Du nicht den Satz, dass, wenn [mm]f\,[/mm] und
> [mm]g\,[/mm] messbar sind, dann auch [mm]f*g\,[/mm] messbar ist, anwenden.
>
> Ich meine: Wenn ich die Aussage [mm]A \Rightarrow B[/mm] habe, kann
> ich nicht sagen:
> Aber wird da nicht etwas falsch, wenn ich [mm]\neg A[/mm] habe?
> Nein:
> [mm]A \Rightarrow B[/mm] ist logisch äquivalent zu [mm](\neg B) \Rightarrow (\neg A)\,.[/mm]
> (Kontraposition!)
>
> Wenn man nur die Aussage [mm]A \Rightarrow B[/mm] hat, dann weiß
> man damit alleine ja noch nicht, welche der Aussagen [mm](\neg A) \Rightarrow B[/mm]
> und [mm](\neg A) \Rightarrow (\neg B)[/mm] stimmt.
Das ist mir schon klar
Ich habe nochmal genau drüber nachgedacht und jetzt ist mir die Lösung meiner Anfangsfrage klar.
Die Konvention [mm] $0*\infty$ [/mm] tritt ja nur dann auf, wenn $f = 0$ und $ g = [mm] \infty$ [/mm] oder umgekehrt. Die Zusammenfassung all dieser Stellen, wo die Konvention angewandt werden muss, sind nach Voraussetzung (f,g messbar) Mengen in [mm] $\sB_{\IR}$. [/mm] Daher treten dort keine Probleme auf.
Danke für deine Antworten!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:05 Do 17.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
>
> > Hallo Stefan,
> >
> > >
> > > Hallo Marcel,
> > >
> > > zunächst danke für deine Geduld!
> > > Ich erkenne langsam, dass das irgendwie alles egal
> ist,
> > > bin mir aber noch nicht sicher.
> > >
> > > Nochmal der Satz: [mm]f,g: \IR \to \overline{\IR}[/mm] messbar -->
> > > [mm]f*g: \IR \to \overline{\IR}[/mm] messbar.
> > >
> > > Mal angenommen, wir nehmen ein [mm]A \in P(\IR) \backlash \IB_{\IR}[/mm]
> > > und definieren [mm]f = 1_{A}[/mm] (Mir ist klar, dass [mm]f[/mm] hier nicht
> > > messbar ist, es soll bloss ein Beispiel sein), sowie g =
> > > [mm]\infty.[/mm]
> > > Dann gilt [mm]f*g = \infty * 1_A[/mm], d.h. die Konvention
> > [mm]0*\infty[/mm]
> > > = 0
> > > kommt an überabzählbar vielen Stellen zum
> Tragen.
> > >
> > > Könnte das nicht Probleme geben?
> >
> > ich versteh' das Beispiel nicht: Wenn [mm]f\,[/mm] schon nicht
> > messbar ist, kannst Du nicht den Satz, dass, wenn [mm]f\,[/mm] und
> > [mm]g\,[/mm] messbar sind, dann auch [mm]f*g\,[/mm] messbar ist, anwenden.
> >
> > Ich meine: Wenn ich die Aussage [mm]A \Rightarrow B[/mm] habe, kann
> > ich nicht sagen:
> > Aber wird da nicht etwas falsch, wenn ich [mm]\neg A[/mm] habe?
> > Nein:
> > [mm]A \Rightarrow B[/mm] ist logisch äquivalent zu [mm](\neg B) \Rightarrow (\neg A)\,.[/mm]
> > (Kontraposition!)
> >
> > Wenn man nur die Aussage [mm]A \Rightarrow B[/mm] hat, dann weiß
> > man damit alleine ja noch nicht, welche der Aussagen [mm](\neg A) \Rightarrow B[/mm]
> > und [mm](\neg A) \Rightarrow (\neg B)[/mm] stimmt.
>
> Das ist mir schon klar
das dachte ich mir eigentlich auch: Aber mir war unklar, was Du ansonsten meinen könntest. Denn so wirklich habe ich die Frage immer noch nicht verstanden, bzw., was Du da glaubtest, machen zu dürfen.
> Ich habe nochmal genau drüber nachgedacht und jetzt ist
> mir die Lösung meiner Anfangsfrage klar.
>
> Die Konvention [mm]0*\infty[/mm] tritt ja nur dann auf, wenn [mm]f = 0[/mm]
> und [mm]g = \infty[/mm] oder umgekehrt. Die Zusammenfassung all
> dieser Stellen, wo die Konvention angewandt werden muss,
> sind nach Voraussetzung (f,g messbar) Mengen in [mm]\sB_{\IR}[/mm].
> Daher treten dort keine Probleme auf.
Naja, wenn [mm] $0*\infty=0$ [/mm] ist, dann ist das, was Du meinst, sicher einfach nur Inhalt der Feststellung, dass [mm] $h^{-1}(\{0\})$ [/mm] messbar ist, wenn [mm] $f\,g$ [/mm] und damit [mm] $h:=f\cdot [/mm] g$ messbar ist? Und dann sind natürlich jene $x [mm] \in \IR\,,$ [/mm] wo [mm] $f(x)*g(x)=0*\infty$ [/mm] oder [mm] $f(x)*g(x)=\infty*0$ [/mm] gilt (die Reihenfolge vor dem Gleichheitszeichen soll der nach dem Gleichheitszeichen entsprechen), natürlich auch [mm] $\in h^{-1}(\{0\})\,.$ [/mm] Okay, das war Dir unklar? Mir war nicht klar, dass Dir das unklar war... Oder hab' ich immer noch nicht verstanden, was Dir unklar war?
Im Prinzip hätte man auch [mm] $0*\infty=\infty*0=\sqrt{2}$ [/mm] setzen können - jedenfalls, wenn es nur um diese Messbarkeitseigenschaft geht.
> Danke für deine Antworten!
Immer gerne!
Gruß,
Marcel
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