Messbarkeit und Symmetrie < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei B die [mm] Borel-\sigma-Algebra [/mm] auf den reellen Zahlen und [mm] g:(\IR,B) [/mm] -> [mm] (\IR,B) [/mm] mit g(x)=|x|. Sei weiterhin f eine Funktion, die messbar ls Abb. von [mm] (\IR,B) [/mm] nach [mm] (\IR,B) [/mm] ist.
Beweisen sie, dass f genau dann symmtrisch zur y-Achse, wenn f als Abb. von [mm] (\IR,g^{-1}(B)) [/mm] nach [mm] (\IR,B) [/mm] messbar ist |
Hallo zusammen.
Zu zeigen ist eine Äquivalenz.
Angenommen f(x)=f(-x). Ich muss ja zeigen, dass [mm] f^{-1}(A)=\{\omega \in\IR:f(\omega)\in A\} \in g^{-1}(B) [/mm] für alle [mm] A\in [/mm] B
Definiere f(x)=f(g(x))
Dann ist f(x)=f(g(x))=f(|x|)=f(-x).
Erscheint mir zu einfach, also muss ja zwangsläufig falsch sein.
Vielleicht muss ich noch zeigen, dass die verknüpfte Funktion messbar ist, sprich das [mm] (f\circ g)^{-1}(A) \in g^{-1}(B(\IR))
[/mm]
Nur, wie würde man da vorgehen?
Bei der anderen Richtugn muss man ja die Symmetrie zeigen.
Hatte irgendwo gelesen, dass man folgende Mengeninklusion zeigen soll:
[mm] g^{-1}(B)=\{A \cup (-A): A\in B\}=:M
[/mm]
Wenn ich ein Element aus [mm] g^{-1}(B) [/mm] nehme, kann ich es aufgrund die [mm] \sigma-Algebra-Eigenschaft [/mm] als Vereinigung schreiben A [mm] \cup [/mm] (-A), was ja auch wieder drin liegen muss und (-A) liegt aufgrund der zweiten Eigenschaft auch drin. Und andersherum argumentiert man doch genauso, also die Vereinigung liegt in der [mm] \sigma-Algebra [/mm] und A und (-1) liegen auch drin, insbesonders, da es sich hier um die [mm] Borel-\sigma-Algebra [/mm] handelt.
Aus dieser Gleichheit folgt ja, dass f(x)=f(-x) gelten muss.
Vielen Dank für alle Antworten
Lieben Gruß
TheBozz-mismo
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:41 So 05.11.2017 | | Autor: | tobit09 |
Hallo TheBozz-mismo!
> Zu zeigen ist eine Äquivalenz.
Genau.
> Angenommen f(x)=f(-x). Ich muss ja zeigen, dass
> [mm]f^{-1}(A)=\{\omega \in\IR:f(\omega)\in A\} \in g^{-1}(B)[/mm]
> für alle [mm]A\in[/mm] B
Genau.
> Definiere f(x)=f(g(x))
> Dann ist f(x)=f(g(x))=f(|x|)=f(-x).
DEFINIERE f(x)=f(g(x)) ???
Es lässt sich $f(x)=f(g(x))$ für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] ZEIGEN (unter Verwendung von $f(x)=f(-x)$).
> Erscheint mir zu einfach, also muss ja zwangsläufig
> falsch sein.
> Vielleicht muss ich noch zeigen, dass die verknüpfte
> Funktion messbar ist, sprich das [mm](f\circ g)^{-1}(A) \in g^{-1}(B(\IR))[/mm]
Was zu zeigen ist, hast du doch oben schon korrekt überlegt???
> Nur, wie würde man da vorgehen?
Sei [mm] $A\in [/mm] B$.
Zu zeigen ist [mm] $f^{-1}(A)\in g^{-1}(B)$, [/mm] d.h. gesucht ist ein [mm] $C\in [/mm] B$ mit [mm] $f^{-1}(A)=g^{-1}(C)$.
[/mm]
Wenn nun [mm] $f=f\circ [/mm] g$ gezeigt ist, kann man wie folgt weiter argumentieren:
Es gilt [mm] $f^{-1}(A)=(f\circ g)^{-1}(A)=g^{-1}(f^{-1}(A)))$.
[/mm]
Das lässt vermuten, dass [mm] $C:=f^{-1}(A)$ [/mm] eine geeignete Wahl sein könnte...
Warum gilt bei dieser Wahl [mm] $C\in [/mm] B$?
Es folgt [mm] $f^{-1}(A)=g^{-1}(C)\in g^{-1}(B)$.
[/mm]
> Bei der anderen Richtugn muss man ja die Symmetrie zeigen.
Ja.
> Hatte irgendwo gelesen, dass man folgende Mengeninklusion
> zeigen soll:
> [mm]g^{-1}(B)=\{A \cup (-A): A\in B\}=:M[/mm]
Diese Gleichheit stimmt zwar, aber ihr Nachweis erscheint mir deutlich aufwendiger als eine direktere Lösung der Aufgabe.
> Wenn ich ein Element
> aus [mm]g^{-1}(B)[/mm] nehme, kann ich es aufgrund die
> [mm]\sigma-Algebra-Eigenschaft[/mm] als Vereinigung schreiben A [mm]\cup[/mm]
> (-A),
Warum das?
(Es fehlt eine schlüssige Begründung.)
> was ja auch wieder drin liegen muss und (-A) liegt
> aufgrund der zweiten Eigenschaft auch drin.
Was meinst du mit der "zweiten Eigenschaft"?
> Und andersherum
> argumentiert man doch genauso, also die Vereinigung liegt
> in der [mm]\sigma-Algebra[/mm] und A und (-1) liegen auch drin,
(Welche Sigma-Algebra meinst du hier?)
-1 ist bestimmt kein Element irgendeiner Sigma-Algebra, da -1 gar keine Menge ist.
Du hast bisher keine der beiden Inklusionen [mm] $g^{-1}(B)\subseteq [/mm] M$ und [mm] $g^{-1}(B)\supseteq [/mm] M$ bewiesen.
> Aus dieser Gleichheit folgt ja, dass f(x)=f(-x) gelten
> muss.
Wie das?
Das müsstest du schon näher erläutern.
Insbesondere kann ich nicht erkennen, wie du die [mm] $g^{-1}(B)$-B-Messbarkeit [/mm] von f nutzt.
Genüge $f$ der [mm] $g^{-1}(B)$-B-Messbarkeit.
[/mm]
Sei [mm] $x\in\IR$.
[/mm]
Zu zeigen ist $f(-x)=f(x)$.
Betrachte nun speziell [mm] $A:=\{f(x)\}$.
[/mm]
Als einelementige Teilmenge von [mm] $\IR$ [/mm] ist $A$ ein Element von $B$.
Wegen der [mm] $g^{-1}(B)$-B-Messbarkeit [/mm] von $f$ gilt somit [mm] $f^{-1}(A)\in g^{-1}(B)$, [/mm] d.h. es existiert ein
Menge [mm] $C\in [/mm] B$ mit [mm] $f^{-1}(A)=g^{-1}(C)$.
[/mm]
Wegen [mm] $f(x)\in [/mm] A$ gilt [mm] $x\in f^{-1}(A)=g^{-1}(C)$, [/mm] also [mm] $g(x)\in [/mm] C$.
Somit haben wir auch [mm] $g(-x)=|-x|=|x|=g(x)\in [/mm] C$.
Also [mm] $-x\in g^{-1}(C)=f^{-1}(A)$ [/mm] und somit [mm] $f(-x)\in A=\{f(x)\}$.
[/mm]
Es folgt wie gewünscht $f(-x)=f(x)$.
Die entscheidende Idee war die Anwendung der [mm] $g^{-1}(B)$-B-Messbarkeit [/mm] von f speziell auf die Menge [mm] $A:=\{f(x)\}$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
Hallo und vielen Dank für deine Antwort. Ich komme erst jetzt dazu, zu antworten. Sorry.
> Hallo TheBozz-mismo!
>
>
> > Zu zeigen ist eine Äquivalenz.
> Genau.
>
> > Angenommen f(x)=f(-x). Ich muss ja zeigen, dass
> > [mm]f^{-1}(A)=\{\omega \in\IR:f(\omega)\in A\} \in g^{-1}(B)[/mm]
> > für alle [mm]A\in[/mm] B
> Genau.
>
> > Definiere f(x)=f(g(x))
> > Dann ist f(x)=f(g(x))=f(|x|)=f(-x).
> DEFINIERE f(x)=f(g(x)) ???
>
> Es lässt sich [mm]f(x)=f(g(x))[/mm] für alle [mm]x\in\IR[/mm] ZEIGEN (unter
> Verwendung von [mm]f(x)=f(-x)[/mm]).
Ok. Also [mm] f(g(x))=f(\pm [/mm] x) und da f(x)=f(-x) gilt, folgt aus [mm] f(\pm [/mm] x)=f(x). Richtig soweit?
>
> > Erscheint mir zu einfach, also muss ja zwangsläufig
> > falsch sein.
> > Vielleicht muss ich noch zeigen, dass die verknüpfte
> > Funktion messbar ist, sprich das [mm](f\circ g)^{-1}(A) \in g^{-1}(B(\IR))[/mm]
>
> Was zu zeigen ist, hast du doch oben schon korrekt
> überlegt???
>
> > Nur, wie würde man da vorgehen?
> Sei [mm]A\in B[/mm].
> Zu zeigen ist [mm]f^{-1}(A)\in g^{-1}(B)[/mm], d.h.
> gesucht ist ein [mm]C\in B[/mm] mit [mm]f^{-1}(A)=g^{-1}(C)[/mm].
>
> Wenn nun [mm]f=f\circ g[/mm] gezeigt ist, kann man wie folgt weiter
> argumentieren:
>
> Es gilt [mm]f^{-1}(A)=(f\circ g)^{-1}(A)=g^{-1}(f^{-1}(A)))[/mm].
>
> Das lässt vermuten, dass [mm]C:=f^{-1}(A)[/mm] eine geeignete Wahl
> sein könnte...
>
> Warum gilt bei dieser Wahl [mm]C\in B[/mm]?
Weil f ja auf B messbar ist, also liegen die Urbilder wieder in B.
>
> Es folgt [mm]f^{-1}(A)=g^{-1}(C)\in g^{-1}(B)[/mm].
>
Damit wären wir wohl fertig.
>
>
> > Bei der anderen Richtugn muss man ja die Symmetrie zeigen.
> Ja.
>
> > Hatte irgendwo gelesen, dass man folgende Mengeninklusion
> > zeigen soll:
> > [mm]g^{-1}(B)=\{A \cup (-A): A\in B\}=:M[/mm]
> Diese Gleichheit
> stimmt zwar, aber ihr Nachweis erscheint mir deutlich
> aufwendiger als eine direktere Lösung der Aufgabe.
>
> > Wenn ich ein Element
> > aus [mm]g^{-1}(B)[/mm] nehme, kann ich es aufgrund die
> > [mm]\sigma-Algebra-Eigenschaft[/mm] als Vereinigung schreiben A [mm]\cup[/mm]
> > (-A),
> Warum das?
> (Es fehlt eine schlüssige Begründung.)
>
> > was ja auch wieder drin liegen muss und (-A) liegt
> > aufgrund der zweiten Eigenschaft auch drin.
> Was meinst du mit der "zweiten Eigenschaft"?
>
Meinte die 2. Eigenschaft einer Sigma-Algebra, also dass wenn A in der Sigma-Algebra liegt, dann auch das Komplement, aber war irgendwie falsch gedacht.
> > Und andersherum
> > argumentiert man doch genauso, also die Vereinigung liegt
> > in der [mm]\sigma-Algebra[/mm] und A und (-1) liegen auch drin,
> (Welche Sigma-Algebra meinst du hier?)
>
> -1 ist bestimmt kein Element irgendeiner Sigma-Algebra, da
> -1 gar keine Menge ist.
>
> Du hast bisher keine der beiden Inklusionen
> [mm]g^{-1}(B)\subseteq M[/mm] und [mm]g^{-1}(B)\supseteq M[/mm] bewiesen.
>
> > Aus dieser Gleichheit folgt ja, dass f(x)=f(-x) gelten
> > muss.
> Wie das?
> Das müsstest du schon näher erläutern.
> Insbesondere kann ich nicht erkennen, wie du die
> [mm]g^{-1}(B)[/mm]-B-Messbarkeit von f nutzt.
>
>
Ok. Wir haben als Tip bekommen, diese Gleichheit zu zeigen, jedoch kann ich deinen direkten Weg nachvollziehen.
>
> Genüge [mm]f[/mm] der [mm]g^{-1}(B)[/mm]-B-Messbarkeit.
>
> Sei [mm]x\in\IR[/mm].
> Zu zeigen ist [mm]f(-x)=f(x)[/mm].
>
> Betrachte nun speziell [mm]A:=\{f(x)\}[/mm].
> Als einelementige Teilmenge von [mm]\IR[/mm] ist [mm]A[/mm] ein Element von
> [mm]B[/mm].
>
> Wegen der [mm]g^{-1}(B)[/mm]-B-Messbarkeit von [mm]f[/mm] gilt somit
> [mm]f^{-1}(A)\in g^{-1}(B)[/mm], d.h. es existiert ein
> Menge [mm]C\in B[/mm] mit [mm]f^{-1}(A)=g^{-1}(C)[/mm].
>
> Wegen [mm]f(x)\in A[/mm] gilt [mm]x\in f^{-1}(A)=g^{-1}(C)[/mm], also [mm]g(x)\in C[/mm].
>
> Somit haben wir auch [mm]g(-x)=|-x|=|x|=g(x)\in C[/mm].
>
> Also [mm]-x\in g^{-1}(C)=f^{-1}(A)[/mm] und somit [mm]f(-x)\in A=\{f(x)\}[/mm].
>
> Es folgt wie gewünscht [mm]f(-x)=f(x)[/mm].
>
>
> Die entscheidende Idee war die Anwendung der
> [mm]g^{-1}(B)[/mm]-B-Messbarkeit von f speziell auf die Menge
> [mm]A:=\{f(x)\}[/mm].
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
Lieben Gruß
TheBozz-mismo
|
|
|
| |
|
Danke für die schnelle Antwort!
Lieben Gruß
TheBozz-mismo
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Dir scheint die Begründung klar zu sein.
