Messbarkeitseigenschaft < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:56 Mo 13.06.2011 | | Autor: | mathe456 |
Hallo,
ich habe ein Frage zur Messbarkeitseigenschaft von Zufallsvariablen.
Messbarkeit haben wir so definiert:
{X єB} = {ω єΩ: X(ω) єB} єA (B Element der Borelmenge)
Messbarkeit erfüllt falls, {x є (−∞,x]} = {X≤x} єA
Jetzt soll ich folgendes zeigen:
Speziell: {X=x} єA
A soll immer eine Sigam-Algebra darstellen.
Ich verstehe nicht was ich genau zeigen soll. Im diskreten Fall ist doch klar, dass {X=x} єA, weil alle Teilmengen Ereignisse sind, oder?
Und im stetigen Fall ist ein Elementarereignis doch gar nicht definiert ?!
Vielen Dank für die Hilfe!!!
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Hallo,
> Hallo,
> ich habe ein Frage zur Messbarkeitseigenschaft von
> Zufallsvariablen.
> Messbarkeit haben wir so definiert:
> {X єB} = {ω єΩ: X(ω) єB} єA (B Element der
> Borelmenge)
> Messbarkeit erfüllt falls, {x є (−∞,x]} = {X≤x}
> єA
>
> Jetzt soll ich folgendes zeigen:
> Speziell: {X=x} єA
>
> A soll immer eine Sigam-Algebra darstellen.
>
> Ich verstehe nicht was ich genau zeigen soll. Im diskreten
> Fall ist doch klar, dass {X=x} єA, weil alle Teilmengen
> Ereignisse sind, oder?
Das kommt darauf an, was die [mm] \sigma [/mm] Algebra ist. Du kannst ja nicht standardmäßig von der Potenzmenge ausgehen.
> Und im stetigen Fall ist ein Elementarereignis doch gar
> nicht definiert ?!
Was meinst du damit, nicht definiert? Das Elementarereignis ist immer definiert, und zwar als die Menge [mm] $\{X = x\} [/mm] := [mm] \{\omega \in \Omega: X(\omega) = x\}$. [/mm] Das ist eine (oft) nichtleere Teilmenge von [mm] $\Omega$, [/mm] und du sollst zeigen, dass sie in A liegt.
Wenn ich zum Beispiel [mm] $\Omega [/mm] = [mm] \IR$ [/mm] und [mm] $B_\IR$ [/mm] die Borelsche Sigma-Algebra habe, und die Zufallsvariable definiere:
[mm] $X(\omega) [/mm] = [mm] \begin{cases}0, \quad\quad x > 0\\ 1, \quad\quad x \le 0\end{cases}$
[/mm]
Dann ist doch sehr wohl [mm] $\{X = 1\} [/mm] = [mm] \{x \le 0\} [/mm] = [mm] [-\infty,0]$ [/mm] definiert.
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Was musst du also tun:
Du weiß, dass für alle [mm] $x\in \IR$ [/mm] gilt: [mm] $(-\infty,x]\in [/mm] A$.
Du musst zeigen: Für alle [mm] $x\in \IR$ [/mm] gilt: [mm] $\{x\}\in [/mm] A$.
Dafür kombinierst (d.h. unendlich vereinigen, schneiden, Komplement bilden) du die Mengen [mm] $(-\infty,x]$, [/mm] von denen du schon weiß dass sie in der Sigma-Algebra sind, so, dass du [mm] $\{x\}$ [/mm] erhältst.
Rechne mal aus, was [mm] $(-\infty,x] \cap \bigcap_{n\in\IN}(x-\frac{1}{n},\infty)$ [/mm] ist...
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:22 Mo 13.06.2011 | | Autor: | mathe456 |
Danke für die schnelle Antwort!
Das ist doch dann das Intervall (x-1/n, x], oder?
und wie erhält man daraus dann {x}?
und wieso liegt die Menge [mm] \cap [/mm] (x-1/n, ∞) in der sigma-algebra?
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Hallo,
> Danke für die schnelle Antwort!
> Das ist doch dann das Intervall (x-1/n, x], oder?
Nein, ein "n" kommt da nicht mehr vor, da wird doch über alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] geschnitten.
> und wie erhält man daraus dann {x}?
Das dürfte da eigentlich rauskommen.
> und wieso liegt die Menge [mm]\cap[/mm] (x-1/n, ∞) in der
> sigma-algebra?
Es ist [mm] $(x-\frac{1}{n},\infty) [/mm] = [mm] (-\infty, [/mm] x- [mm] \frac{1}{n}]\in [/mm] A$.
Und abzählbare Schnitte liegen drin...
Grüße,
Stefan
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