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| Aufgabe | 1) Bestimmen Sie in folgenden Fällen die Genauigkeit, mit welcher die abhängige Größe bestimmt werden kann:
a) [mm] V=\bruch{1}{3}\pi (6-h)h^{2} [/mm] (Inhalt eines kugelförmigen Tanks vom Durchmesser 4m bei einer Füllhöhe h); [mm] h_{0}=1,20 [/mm] m, [mm] \Delta [/mm] h=1cm |
Hallo,
also, das meiste der Rechnung habe ich verstanden.. man berechnet erst:
1cm=0,01m
mit dem Differenzenquotienten:
[mm] |V(h_{0}\pm \Delta [/mm] h) - [mm] Vh_{0}| [/mm] = max | V'(h)| * [mm] \Delta [/mm] h
h [mm] \in [/mm] [1,19;1,21]
[mm] V'(h)=\pi*4h- \pi*h^{2}
[/mm]
[mm] V''(h)=\pi [/mm] (4-2h) > 0 in [1,19;1,21]
hier taucht die erste Frage auf: Wozu will man wissen, dass wenn man die möglichen End-Intervallwerte in die 2.Ableitung einsetzt, diese immernoch >0 ist???
Und weiter:
[mm] \to [/mm] max |V'(h)| =V'(1,21)*0,01=10,61*0,01 Der Meßfehler beträgt 0,106 [mm] m^{3}
[/mm]
Also, warum hat man hier als falsch gemessenes 1,21 eingesetzt und nicht 1,19. Dabei müsste doch der Meßfehler eigentlich genauso groß sein, wenn man sich "nach unten" vermessen hat, oder???
Kann mir das jemand erklären???
Viele grüße,
Anna
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> [mm]|V(h_{0}\pm \Delta[/mm] h) - [mm]Vh_{0}|[/mm] = max | V'(h)| * [mm]\Delta[/mm] h
>
> h [mm]\in[/mm] [1,19;1,21]
>
> [mm]V'(h)=\pi*4h- \pi*h^{2}[/mm]
>
> [mm]V''(h)=\pi[/mm] (4-2h) > 0 in [1,19;1,21]
>
> hier taucht die erste Frage auf: Wozu will man wissen, dass
> wenn man die möglichen End-Intervallwerte in die
> 2.Ableitung einsetzt, diese immernoch >0 ist???
>
> Und weiter:
> [mm]\to[/mm] max |V'(h)| =V'(1,21)*0,01=10,61*0,01 Der Meßfehler
> beträgt 0,106 [mm]m^{3}[/mm]
>
> Also, warum hat man hier als falsch gemessenes 1,21
> eingesetzt und nicht 1,19. Dabei müsste doch der Meßfehler
> eigentlich genauso groß sein, wenn man sich "nach unten"
> vermessen hat, oder??? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
hallo Anna
Diese Symmetrie könnte man eigentlich nur dann
erwarten, wenn das Volumen linear von h abhinge.
Im vorliegenden Beispiel würde folgende anschauliche
Betrachtung helfen:
Der Tank ist weit weniger als zur Hälfte gefüllt.
Vergleiche das Volumen der beiden 1 Zentimeter dicken
Schichten über und unter dem gemessenen Füllstand vor.
Die obere hat ein etwas grösseres Volumen, weil der Tank
nach oben hin noch weiter wird. (Bei einem mehr als
zur Hälfte gefüllten Tank wäre es umgekehrt)
V'(h) ist im Intervall [1.19...1.21] positiv. Das positive
Vorzeichen von V''(h) im selben Intervall garantiert, dass
V'(h) in dem Intervall noch wächst, also muss V'(h) und
auch |V'(h)| den grössten Wert am rechten Rand des
Intervalls, also bei h=1.21 annehmen.
Gruß
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Hallo,
aha. Und was wäre dann, wenn V'(h) in dem Intervall nicht noch weiter wächst, V''(h) < 0 ist??? Wäre dann der Meßfehler bei dem kleinen Intervallende maximal??
Gruß,
Anna
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> Hallo,
> aha. Und was wäre dann, wenn V'(h) in dem Intervall nicht
> noch weiter wächst, V''(h) < 0 ist??? Wäre dann der
> Meßfehler bei dem kleinen Intervallende maximal??
> Gruß,
> Anna
Ja.
Mach dir dazu eine Skizze der Graphen von V' und V'' !
(es kommt allerdings auch darauf an, ob V' im
betrachteten Intervall positiv oder negativ ist)
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