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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:55 Mo 11.05.2009 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Zur Herstellung von Lagern werden im Maschinenbau häufig wegen ihrer guten Gleiteigenschaften Kupfergusslegierungen aus 75% Kupfer, 15% Blei, 6% Zinn und 4% Zink verwendet. Zur Erzeugung solcher Legierungen geht man nicht von den reinen Materialien aus, deren Herstellung sehr teuer ist, sondern von vorhandenen Legierungen, deren Zusammensetzung man kennt.
[mm] \pmat{ & Kupfer & Blei & Zinn & Zink \\ Legierung1 & 80 Prozent & 15 Prozent & 4 Prozent & 1 Prozent \\ Legierung2 & 70 Prozent & 0 & 16 Prozent & 14 Prozent\\ Legierung3 & 68 Prozent & 0 & 0 & 32 Prozent \\ Legierung4 & 70 Prozent & 30 & 0 & 0\\ Legierung5 & 72 Prozent & 0 & 28 Prozent & 0 }
[/mm]
Es stehen die vier in der Tabelle beschriebenen Legierungen zur Verfügung. Wie kann die neue Legierung aus den vorhandenen Legierungen zusammengeschmolzen werden? Kann man auf eine der Legierungen verzichten? |
Moin,
[mm] \pmat{ & Legierung1 & Legierung2 & Legierung3 & Legierung4 & Legierung5 \\ Kupfer & 80 & 70 & 68 & 70 & 72 & : 75 \\ Blei & 15 & 0 & 0 & 30 & 0 & : 15 \\ Zinn & 4 & 16 & 0 & 0 & 28 & : 6 \\ Zink & 1 & 14 & 32 & 0 & 0 & : 4}
[/mm]
Ist der Ansatz richtig?
Dann wäre das LGS unterbestimmt, oder nicht?
Kann ich zeigen, das eine Gleichung ein Vielfaches einer anderen ist; oder kann ich anders zeigen ob eine Legierung überflüssig ist?
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Hallo hase-hh,
Dein Ansatz ist richtig.
Wenn Du das Gleichungssystem löst, kannst Du ja (mindestens) eine Variable frei wählen, da das GLS unterbestimmt ist.
Meistens ist an der dann parameterbehafteten Lösung erkenntlich, ob und welche Deiner vorgegebenen Gleichungen (oder Vektoren) "verzichtbar" sind. Jede Lösung, bei der eine der verfügbaren Legierungen nicht vorkommt (ihr Mengenkoeffizient also Null wird), wäre so ein Sonderfall.
Davon kann es durchaus mehrere geben, sogar so weit, dass jede beliebige der fünf Legierungen wegfallen kann, so dass man aus den übrigen vier die Ziellegierung immer noch herstellen kann.
Um das herauszufinden, musst Du jetzt aber erst einmal Dein Gleichungssystem lösen. Dann sehen wir weiter. 
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 Di 12.05.2009 | | Autor: | hase-hh |
Vielen Dank!
Ich hab mal weiter gerechnet...
Gibt es eigentlich ein Programm, dass mir die Lösungen eines LGS ausrechnet?
Korrektur...
[mm] \pmat{ 80 & 70 & 68 & 70 & 72 & : 75 \\ 0 & 70 & 68 & -90 & 72 & : -5 \\ 0 & 0 & 272 & -220& -202 & : -55 \\ 0 & 0 & 0 & -42 & 1 & : -\bruch{21}{2}}
[/mm]
[mm] -42*L_4 [/mm] + [mm] 1*L_5 [/mm] = - [mm] \bruch{21}{2}
[/mm]
Ich setze [mm] L_5 [/mm] = [mm] \lambda [/mm]
[mm] L_4 [/mm] = [mm] \bruch{1}{42}*\lambda [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] L_3 [/mm] = [mm] \bruch{16}{21}*\lambda [/mm]
[mm] L_2 [/mm] = - [mm] \bruch{73}{42}*\lambda [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] L_1 [/mm] = - [mm] \bruch{1}{21}*\lambda [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Und wenn das soweit stimmt, müsste ich jetzt die Nullstellen der einzelnen Gleichungen bestimmen?
[mm] L_1 [/mm] = 0 wenn [mm] \lambda [/mm] = [mm] \bruch{21}{2}
[/mm]
[mm] L_2 [/mm] = 0 wenn [mm] \lambda [/mm] = [mm] \bruch{21}{146}
[/mm]
[mm] L_3 [/mm] = 0 wenn [mm] \lambda [/mm] = 0
[mm] L_4 [/mm] = 0 wenn [mm] \lambda [/mm] = - [mm] \bruch{21}{2}
[/mm]
[mm] L_5 [/mm] = 0 wenn [mm] \lambda [/mm] = 0
=>
Wenn [mm] \lambda=0 [/mm] ist, dann komme ich mit 3 Legierungen aus,
wenn [mm] \lambda [/mm] = - [mm] \bruch{21}{2} [/mm] oder [mm] \lambda [/mm] = [mm] \bruch{21}{146} [/mm] oder [mm] \lambda [/mm] = [mm] \bruch{21}{2} [/mm] ist, komme ich mit 4 Legierungen aus,
andernfalls brauche ich 5 Legierungen.
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Hallo hase-hh,
ich habs jetzt nicht nachgerechnet, aber so eine Lösung meinte ich.
> Vielen Dank!
>
> Ich hab mal weiter gerechnet...
>
> Gibt es eigentlich ein Programm, dass mir die Lösungen
> eines LGS ausrechnet?
Ja, das können alle Computer-Algebra-Systeme und die meisten größeren Taschenrechner (GTR).
> [mm]\pmat{ 80 & 70 & 68 & 70 & 72 & : 75 \\ 0 & 70 & 68 & -90 & 72 & : -5 \\ 0 & 0 & 272 & -220& -202 & : -55 \\ 0 & 0 & 0 & -42 & 1 & : \bruch{19}{50}}[/mm]
>
> [mm]-42*L_4[/mm] + [mm]1*L_5[/mm] = [mm]\bruch{19}{50}[/mm]
>
> Ich setze [mm]L_5[/mm] = [mm]\lambda[/mm]
>
> [mm]L_4[/mm] = [mm]\bruch{1}{42}*\lambda[/mm] - [mm]\bruch{19}{2100}[/mm]
>
> [mm]L_3[/mm] = [mm]\bruch{16}{21}*\lambda[/mm] - [mm]\bruch{22}{105}[/mm]
>
> [mm]L_2[/mm] = - [mm]\bruch{73}{42}*\lambda[/mm] + [mm]\bruch{253}{2100}[/mm]
>
> [mm]L_1[/mm] = - [mm]\bruch{1}{21}*\lambda[/mm] + [mm]\bruch{1069}{1050}[/mm]
>
>
> Und wenn das soweit stimmt, müsste ich jetzt die
> Nullstellen der einzelnen Gleichungen bestimmen?
Ja, genau.
> [mm]L_1[/mm] = 0 wenn [mm]\lambda[/mm] = [mm]\bruch{1069}{50}[/mm]
>
> [mm]L_2[/mm] = 0 wenn [mm]\lambda[/mm] = [mm]\bruch{7}{101}[/mm]
>
> [mm]L_3[/mm] = 0 wenn [mm]\lambda[/mm] = [mm]\bruch{11}{40}[/mm]
>
> [mm]L_4[/mm] = 0 wenn [mm]\lambda[/mm] = [mm]\bruch{19}{50}[/mm]
>
> [mm]L_5[/mm] = 0 wenn [mm]\lambda[/mm] = 0
>
> ???
Wunderbar. Jede der fünf Legierungen ist verzichtbar, aber nur genau eine davon (sonst müsste es Nullstellen bei zwei oder mehr Variablen beim gleichen Lambda-Wert geben!).
Gut so!
Grüße
reverend
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