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| Aufgabe | Bestimmen Sie mit der Methode der kleinsten Quadrate die Parabel, die möglichst gut die
Punkte (-1, 2), (1, 1), (2, 1), (3, 0) und (5, 3) approximiert. |
Wie gehe ich hier vor? Wie kann ich die Werte approximieren?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Aufgabe 2)
Die Funktion f: ℝ ® ℝ sei gegeben durch
f(x) = c1 + c2 x ln x + c3 ex.
Bestimmen Sie die Koeffizienten c1, c2 und c3 mit der Methode der kleinsten Quadrate auf Grund
der folgenden Messwerte: f(1) = 1; f(2) = 1; f(3) = 3; f(4) = 8.
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Hallo diemelli1,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Bestimmen Sie mit der Methode der kleinsten Quadrate die
> Parabel, die möglichst gut die
> Punkte (-1, 2), (1, 1), (2, 1), (3, 0) und (5, 3)
> approximiert.
> Wie gehe ich hier vor? Wie kann ich die Werte
> approximieren?
>
Da die approximierende Funktion eine Parabel ist,
muß hier
[mm]\summe_{i=1}^{n}\left(y_{i}-a*x_{i}^{2}-b*x_{i}-c\right)^{2}[/mm]
mininimiert werden.
Ein Extremum liegt hier vor, wenn
[mm]\bruch{\partial}{\partial a}\left( \ \summe_{i=1}^{n}\left(y_{i}-a*x_{i}^{2}-b*x_{i}-c\right)^{2} \ \right)=0[/mm]
[mm]\bruch{\partial}{\partial b}\left( \ \summe_{i=1}^{n}\left(y_{i}-a*x_{i}^{2}-b*x_{i}-c\right)^{2} \ \right)=0[/mm]
[mm]\bruch{\partial}{\partial c}\left( \ \summe_{i=1}^{n}\left(y_{i}-a*x_{i}^{2}-b*x_{i}-c\right)^{2} \ \right)=0[/mm]
Das ergibt ein Gleichungssystem für a,b,c.
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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Kann ich das auch so berechnen?
[mm] \vmat{ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1&1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 9 \\ 1 & 5 & 25 } [/mm] * [mm] \vmat{ c1& c2 & c3} [/mm] = [mm] \vmat{ 2 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 3}
[/mm]
und bekomme dann
1 -1 1 2
1 1 1 1
1 2 4 1
1 3 9 0
1 5 25 3 mit Gauß Jordan Eliminination
einen Wert für c3, c2 und c1 heraus.
Die werte setzte ich dann für f(x)= c1 +c2x +c3x² ein und bekomme meine Funktion.
Ist das so richtig?
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Hallo diemelli1,
> Kann ich das auch so berechnen?
>
> [mm]\vmat{ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1&1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 9 \\ 1 & 5 & 25 }[/mm]
> * [mm]\vmat{ c1& c2 & c3}[/mm] = [mm]\vmat{ 2 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 3}[/mm]
>
> und bekomme dann
>
> 1 -1 1 2
> 1 1 1 1
> 1 2 4 1
> 1 3 9 0
> 1 5 25 3 mit Gauß Jordan Eliminination
>
> einen Wert für c3, c2 und c1 heraus.
> Die werte setzte ich dann für f(x)= c1 +c2x +c3x² ein und
> bekomme meine Funktion.
Das ist erstmal ein unterbestimmtes Gleichungssystem
[mm]A*\pmat{c1 \\ c2 \\ c3}=b[/mm]
Da A alles andere als quadratisch ist,
wird die Gleichung mit der transponierten Matrix [mm]A^{T}[/mm] von links multipliziert.
Dann erhalten wir:
[mm]\left(A^{T}*A\right)*\pmat{c1 \\ c2 \\ c3}=A^{T}b[/mm]
Hiervon kannst Du jetzt die Parameter c1, c2 und c3
mit Hilfe des Gauß-Jordan Algorithmus ermitteln.
> Ist das so richtig?
Nach den Korrekturen ist es richtig.
Gruß
MathePower
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Aufgabe 2)
Bei der Aufgabe kann ich doch genauso vorgehen wie bei der anderen, oder?
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Hallo diemelli1,
>
> Aufgabe 2)
> Bei der Aufgabe kann ich doch genauso vorgehen wie bei der
> anderen, oder?
Mit den dortigen Korrekturen, ja.
Gruß
MathePower
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