Methodik < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:31 Fr 22.12.2006 | | Autor: | makw |
| Aufgabe | Bestimme Grenzwert.
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x}{\wurzel{x^3 + a}}
[/mm]
a>0 und fest |
Wie gehe allegemein bei sollchen Aufgaben vor?
Habe bereits den Bruch umgeformt und denke, da Nenner immer groesser ist als Zaehler, das der Bruch gegen 0 laeuft, bin aber unsicher.
[mm] \bruch{x^2}{x^3 +3}
[/mm]
Wie Beweise ich formal so eine Aufgabe allgemein?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Bestimme Grenzwert.
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x}{\wurzel{x^3 + a}}[/mm]
>
> a>0 und fest
> Wie gehe allegemein bei sollchen Aufgaben vor?
> Habe bereits den Bruch umgeformt und denke, da Nenner
> immer groesser ist als Zaehler, das der Bruch gegen 0
> laeuft, bin aber unsicher.
>
> [mm]\bruch{x^2}{x^3 +3}[/mm]
>
> Wie Beweise ich formal so eine Aufgabe allgemein?
>
[mm] $\rmfamily \text{Hi,}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Für Grenzwertberechnungen gibt es leider nicht direkt ein allseits mögliches Verfahren. Hat viel mit Abschätzen}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{und Kombinieren von Methoden zu tun.}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Deine Vermutung ist korrekt -- der Grenzwert ist 0. Wenn mich nicht alles täuscht, kannst du den Term quadrieren}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{und dann z.\,B. die \textsc{Regel von L'Hopital} }\left(\lim_{x\to \infty}\bruch{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\lim_{x\to \infty}\bruch{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}\right)\text{ anwenden.}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \Rightarrow\lim_{x\to \infty}\bruch{x}{\wurzel{x^3+a}}=\lim_{x\to \infty}\bruch{x^2}{x^3+a}=\lim_{x\to \infty}\bruch{2x}{3x^2}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Jetzt kannst du ein }x\text{ kürzen, dann ist es eindeutig zu sehen:}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \Rightarrow \lim_{x\to \infty}\bruch{2}{3x}=0\text{.}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Gruß, Stefan.}$
[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
> > Bestimme Grenzwert.
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x}{\wurzel{x^3 + a}}[/mm]
>
> >
> > a>0 und fest
> [mm]\rmfamily \text{Deine Vermutung ist korrekt -- der Grenzwert ist 0. Wenn mich nicht alles täuscht, kannst du den Term quadrieren}[/mm]
>
> [mm]\rmfamily \text{und dann z.\,B. die \textsc{Regel von L'Hopital} }\left(\lim_{x\to \infty}\bruch{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\lim_{x\to \infty}\bruch{f'\left(x\right)}{g'\left(x\right)}\right)\text{ anwenden.}[/mm]
>
> [mm]\rmfamily \Rightarrow\lim_{x\to \infty}\bruch{x}{\wurzel{x^3+a}}=\lim_{x\to \infty}\bruch{x^2}{x^3+a}=\lim_{x\to \infty}\bruch{2x}{3x^2}[/mm]
>
Hallo,
das ist so nicht richtig. Man darf doch nicht einfach eine Folge quadrieren! I.d.R wird sich das auf den Grenzwert auswirken. Du behauptest hier so etwas wie lim [mm] a_n=lim a_n^2.
[/mm]
Richtig ist, daß für konvergente Folgen [mm] (a_n) [/mm] gilt: (lim [mm] a_n)^2=lim a_n^2 [/mm]
Die Regel von L'Hospital könnte man aber bei [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x}{\wurzel{x^3 + a}} [/mm] direkt anwenden - allerdings nur, wenn sie in der Vorlesung bewiesen wurde.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
> Bestimme Grenzwert.
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x}{\wurzel{x^3 + a}}[/mm]
>
> a>0 und fest
Hallo,
ich würde hier so vorgehen:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x}{\wurzel{x^3 + a}}=\limes_{x\rightarrow\infty} (\bruch{x}{\wurzel{x^3 + a}}\bruch{\bruch{1}{x}}{\bruch{1}{x}})=\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel{x + \bruch{a}{x^2}}}=0
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
|
