Metrik < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei (M,d) ein metrischer Raum und K [mm] \subset [/mm] M sei folgenkompakt. Zeigen sie:
1) Das der metrische Raum (K, [mm] d_{|K}) [/mm] vollständig ist
2)Ist f:K -> [mm] \IR [/mm] stetig, so gibt es ein a [mm] \in \IK, [/mm] sodass [mm] f(a)=sup_{x \in K}|f(x)|
[/mm]
3)Man zeige das f gleichmäßig stetig ist
4)Sei m [mm] \in [/mm] M und f:M-> [mm] \IR [/mm] definiert durch f(x):=d(x,m). Zeigen sie, dass f stetig ist |
Hallo,
ich habe leider große Probleme mit dem Thema der Metrik und hoffe daher, dass ihr mir helfen könnt.
zu 1) Ich weiß ja das K [mm] \subset [/mm] M folgenkompakt ist, also weiß ich auch, dass jede Folge in K eine konvergente Teilfolge besitzt, deren Grenzwert widerum in der Menge liegt.Außerdem weiß ich, dass K beschränkt und abgeschlossen ist( was hier im Bezug zu der Aufgabe wahrscheinlich nicht so wichtig ist)
Naja, jetzt soll ich also beweisen, dass K vollständig ist. Das bedeutet, dass ich beweisen muss, dass jede Cauchy Folge in K auch einen Grenzwert in K besitzt.
eine Cauchy Folge konvergiert dann, wenn sie eine konvergente Teilfolge besitzt. Wegen der Folgenkompaktheit existiert eine in K konvergente Teilfolge.
zu 2) aus der Folgenkompaktheit folgt ja, dass k beschränkt und abgeschlossen ist. Ich weiß ja, dass jede beschränkte Funktion ihr Supremum bzw. Infimum annimmt. Kann ich also aus der Beschränktheit schlussfolgern, dass [mm] f(a)=sup_{x \in K}|f(x)| [/mm] existiert?
zu 3) hier weiß ich leider gar nicht wo ich ansetzten soll und würde mich über Hilfe freuen. Ich weiß gar nicht wie ich gleichmäßige Stetigkeit mit dem Begriff der Matrik verbinde...
zu 4) auch hier verstehe ich nicht wie ich dies zeigen soll und wäre sehr sehr dankbar über Hilfe!
LG
zu 2)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:14 Mo 23.06.2014 | | Autor: | hippias |
> Sei (M,d) ein metrischer Raum und K [mm]\subset[/mm] M sei
> folgenkompakt. Zeigen sie:
> 1) Das der metrische Raum (K, [mm]d_{|K})[/mm] vollständig ist
> 2)Ist f:K -> [mm]\IR[/mm] stetig, so gibt es ein a [mm]\in \IK,[/mm] sodass
> [mm]f(a)=sup_{x \in K}|f(x)|[/mm]
Der Betrag gehoert hier wohl nicht hin.
> 3)Man zeige das f gleichmäßig
> stetig ist
> 4)Sei m [mm]\in[/mm] M und f:M-> [mm]\IR[/mm] definiert durch f(x):=d(x,m).
> Zeigen sie, dass f stetig ist
> Hallo,
> ich habe leider große Probleme mit dem Thema der Metrik
> und hoffe daher, dass ihr mir helfen könnt.
> zu 1) Ich weiß ja das K [mm]\subset[/mm] M folgenkompakt ist, also
> weiß ich auch, dass jede Folge in K eine konvergente
> Teilfolge besitzt, deren Grenzwert widerum in der Menge
> liegt.Außerdem weiß ich, dass K beschränkt und
> abgeschlossen ist( was hier im Bezug zu der Aufgabe
> wahrscheinlich nicht so wichtig ist)
>
> Naja, jetzt soll ich also beweisen, dass K vollständig
> ist. Das bedeutet, dass ich beweisen muss, dass jede Cauchy
> Folge in K auch einen Grenzwert in K besitzt.
>
> eine Cauchy Folge konvergiert dann, wenn sie eine
> konvergente Teilfolge besitzt. Wegen der Folgenkompaktheit
> existiert eine in K konvergente Teilfolge.
Gut: du bist so gut wie fertig.
>
>
> zu 2) aus der Folgenkompaktheit folgt ja, dass k
> beschränkt und abgeschlossen ist. Ich weiß ja, dass jede
> beschränkte Funktion ihr Supremum bzw. Infimum annimmt.
Das ist aber i.a. nicht richtig: aber es ist richtig fuer stetige Funktionen auf kompakten Mengen.
> Kann ich also aus der Beschränktheit schlussfolgern, dass
> [mm]f(a)=sup_{x \in K}|f(x)|[/mm] existiert?
Offenbar nicht. Versuche es so: sei etwa $M:= [mm] \sup_{x\in K} [/mm] f(x)$. Dann existiert eine Folge [mm] $(y_{n})$ [/mm] vom Elementen aus $Bild f$, sodass [mm] $\lim y_{n}= [/mm] M$. Wie sieht das jetzt in $K$ aus? Nutze die Folgenkompaktheit und Stetigkeit aus.
>
> zu 3) hier weiß ich leider gar nicht wo ich ansetzten soll
> und würde mich über Hilfe freuen. Ich weiß gar nicht wie
> ich gleichmäßige Stetigkeit mit dem Begriff der Matrik
> verbinde...
Das steht in deiner Vorlesung und jedem Analysisbuch.
>
> zu 4) auch hier verstehe ich nicht wie ich dies zeigen soll
> und wäre sehr sehr dankbar über Hilfe!
Sei [mm] $\varepsilon>0$. [/mm] Wie koennte [mm] $\delta$ [/mm] gewaehlt werden, sodass [mm] $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$ [/mm] aus [mm] $|x-y|<\delta$ [/mm] folgt?
>
> LG
>
>
> zu 2)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:25 Mo 23.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei (M,d) ein metrischer Raum und K [mm]\subset[/mm] M sei
> folgenkompakt. Zeigen sie:
> 1) Das der metrische Raum (K, [mm]d_{|K})[/mm] vollständig ist
> 2)Ist f:K -> [mm]\IR[/mm] stetig, so gibt es ein a [mm]\in \IK,[/mm] sodass
> [mm]f(a)=sup_{x \in K}|f(x)|[/mm]
> 3)Man zeige das f gleichmäßig
> stetig ist
> 4)Sei m [mm]\in[/mm] M und f:M-> [mm]\IR[/mm] definiert durch f(x):=d(x,m).
> Zeigen sie, dass f stetig ist
> Hallo,
> ich habe leider große Probleme mit dem Thema der Metrik
> und hoffe daher, dass ihr mir helfen könnt.
> zu 1) Ich weiß ja das K [mm]\subset[/mm] M folgenkompakt ist, also
> weiß ich auch, dass jede Folge in K eine konvergente
> Teilfolge besitzt, deren Grenzwert widerum in der Menge
> liegt.Außerdem weiß ich, dass K beschränkt und
> abgeschlossen ist( was hier im Bezug zu der Aufgabe
> wahrscheinlich nicht so wichtig ist)
>
> Naja, jetzt soll ich also beweisen, dass K vollständig
> ist. Das bedeutet, dass ich beweisen muss, dass jede Cauchy
> Folge in K auch einen Grenzwert in K besitzt.
>
> eine Cauchy Folge konvergiert dann, wenn sie eine
> konvergente Teilfolge besitzt.
> Wegen der Folgenkompaktheit
> existiert eine in K konvergente Teilfolge.
>
>
> zu 2) aus der Folgenkompaktheit folgt ja, dass k
> beschränkt und abgeschlossen ist. Ich weiß ja, dass jede
> beschränkte Funktion ihr Supremum bzw. Infimum annimmt.
> Kann ich also aus der Beschränktheit schlussfolgern, dass
> [mm]f(a)=sup_{x \in K}|f(x)|[/mm] existiert?
>
> zu 3) hier weiß ich leider gar nicht wo ich ansetzten soll
> und würde mich über Hilfe freuen. Ich weiß gar nicht wie
> ich gleichmäßige Stetigkeit mit dem Begriff der Matrik
> verbinde...
>
> zu 4) auch hier verstehe ich nicht wie ich dies zeigen soll
> und wäre sehr sehr dankbar über Hilfe!
Vierecksungleichung:
$|d(x,y)-d(u,v)| [mm] \le [/mm] d(x,u)+d(y,v)$
FRED
>
> LG
>
>
> zu 2)
|
|
|
|
