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| Aufgabe | | Es seien X = [mm] C(K_1(0)) [/mm] und [mm] ||f-g||_n [/mm] := sup_(z [mm] \in K_1-\bruch{1}{n}(0)) [/mm] |f(z) - g(z)| für f, g [mm] \in [/mm] X. Zeiten Sie, dass durch d: X x X [mm] \to [/mm] IR, d(f,g) := [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2^n}\bruch{||f-g||_n}{1+||f-g||_n} [/mm] |
Hallo,
wir haben versucht die Axiome
(a) d(p,q)=0 [mm] \gdw [/mm] p=q
(b) d(p,q) = d(q,p)
(c) d(p,q) [mm] \le [/mm] d(p,r) + d(r,q)
versucht anzuwenden. Wir haben jedoch nicht verstanden, wie man dabei die obige Supremums-Definition einbeziehen soll.
Hat jemand eine Idee?
Außerdem hatten wir in der Vorlesung folgendes Beispiel: [mm] d_c(z,w) [/mm] = [mm] \bruch{|z-w|}{1+|z-w|}. [/mm] Bringt uns das was für die Aufgabe?
Viele Grüße,
Anil
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:32 So 01.05.2016 | | Autor: | Reynir |
Hallo,
was soll [mm] $K_1-\frac{1}{n}(0)$ [/mm] sein?
Viele Grüße,
Reynir
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:03 So 01.05.2016 | | Autor: | anil_prim |
Dieser Ausdruck bezieht sich auf das Supremum. Was genau das bedeuten, ist uns jedoch auch unklar...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:36 So 01.05.2016 | | Autor: | Reynir |
Vielleicht wäre es hilfreich sich zu überlegen, was das [mm] $K_1$ [/mm] ist. Ist es eine Kugel mit Radius 1 um den Nullpunkt im [mm] $\mathbb{R}^n$, [/mm] so würde ich den Ausdruck lesen als [mm] $K_1(0)\backslash K_{\frac{1}{n}}(0)$, [/mm] wobei K ein Ball um Null mit Radius [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] wäre. Zu überlegen wäre jetzt sind die K offen oder abgeschlossen?
Viele Grüße,
Reynir
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Hallo Anil,
setze doch mal f=g. Was ist dan d(f,g)? Ist das erste Axiom dabei erfüllt?
Liebe Grüße
Christoph
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Das haben wir gemacht, hat funktioniert. Wir haben jedoch die Supremumsangabe etc. außer Acht gelassen.
Außerdem fragen wir uns, was X = [mm] C(K_{1}(0)) [/mm] bedeuten soll.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:39 So 01.05.2016 | | Autor: | Reynir |
[mm] $C(K_1(0))$ [/mm] steht für den Raum der stetigen Funktionen, die hier Abb. von [mm] $K_1(0) \rightarrow \mathbb{R}$ [/mm] sind. Allerdings solltet ihr [mm] $K_1(0)$ [/mm] definieren, da das von VL zu VL variiert.
Viele Grüße,
Reynir
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Ich bin's nochmal.
Folgender Hinweis zu c) mit der Standardmetrik.
d(x,y)=|x-y|
[mm] d(x,z)=|x-y+y-z|$\le$|x-y|+|y-z|=d(x,y)+d(y,z) [/mm] (Dreiecksungleichung)
Liebe Grüße
Christoph
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> Es seien X = [mm]C(K_1(0))[/mm] und [mm]||f-g||_n[/mm] := sup_(z [mm]\in K_1-\bruch{1}{n}(0))[/mm]
> |f(z) - g(z)| für f, g [mm]\in[/mm] X. Zeiten Sie, dass durch d: X
> x X [mm]\to[/mm] IR, d(f,g) :=
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2^n}\bruch{||f-g||_n}{1+||f-g||_n}[/mm]
Ich vermute, dass mit der Terminologie folgendes gemeint ist:
X = [mm]C(K_1(0))[/mm] ist eine Menge, die aus Funktionen besteht, weil später f, g [mm]\in[/mm] X steht. Dabei dürfte es sich bei [mm] K_1(0) [/mm] um einen Kreis mit dem Radius 1 um den Punkt 0 handeln.
Leider ist nun nicht angegeben, aus welchem ÄRaum die z stammen. Es könnten reelle oder komplexe Zahlen sein oder Punkte eines höherdimensionalen Raumes.
[mm] K_1-\bruch{1}{n}(0)) [/mm] muss wohl so gelesen werden: [mm] K_{1-\bruch{1}{n}}(0)) [/mm] und ist damit sukzessive
[mm] K_{1-\bruch{1}{1}(0))} [/mm] = {0}
[mm] K_{1-\bruch{1}{2}(0))}=K_\bruch{1}{2}(0))
[/mm]
[mm] K_{1-\bruch{1}{3}(0))}=K_\bruch{2}{3}(0))
[/mm]
[mm] K_{1-\bruch{1}{4}(0))}=K_\bruch{3}{4}(0))
[/mm]
usw.
also ein Kreis um 0, dessen Radius auf 1/2, 2/3, 3/4 usw. wächst.
Ungewöhnlich ist, dass für einen Abstand ein Supremum statt eines Infimums gewählt wird!
Ungewöhnlich ist auch die Schreibweise beim Supremum: Demnach müsste man das Supremum der z nehmen, aber wenn z.B. die Menge der Zahlen aus [mm] \IC [/mm] stammt, gibt es kein größer und kleiner für die z-Werte, da [mm] \IC [/mm] nicht im Sinne von größer und kleiner angeordnet werden kann. Offenbar ist das Supremum der Werte |(f(z)-g(z)| gemeint, wobei die z aus dem beschriebenen Kreis stammen sollen.
> Hallo,
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> wir haben versucht die Axiome
> (a) d(p,q)=0 [mm]\gdw[/mm] p=q
> (b) d(p,q) = d(q,p)
> (c) d(p,q) [mm]\le[/mm] d(p,r) + d(r,q)
Das ist nun recht einfach:
(a) Klar ist, dass für p=q für alle z gilt: p(z)-q(z)=0. Damit wird auch jedes Supremum 0 und damit jeder Zähler in der Summe und somit die ganze Summe.
Ist umgekehrt für mindestens ein z aus [mm] K_1(0) [/mm] p(z) [mm] \ne [/mm] q(z), so gibt es einen der Kreise, in dem dieses z liegt, und für das entsprechende n und den weiteren n-s ist das Supremum [mm] \ge|p(z)-q(z)|\ne [/mm] 0. Damit wird auch die Summe >0.
(b) folgt aus der Symmetrie bei der Betragsfunktion |p(z)-q(z)|, (c) aus der Dreiecksungleichung der Betragsfunktion.
>
> versucht anzuwenden. Wir haben jedoch nicht verstanden, wie
> man dabei die obige Supremums-Definition einbeziehen soll.
> Hat jemand eine Idee?
>
> Außerdem hatten wir in der Vorlesung folgendes Beispiel:
> [mm]d_c(z,w)[/mm] = [mm]\bruch{|z-w|}{1+|z-w|}.[/mm] Bringt uns das was für
> die Aufgabe?
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> Viele Grüße,
> Anil
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