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Forum "Topologie und Geometrie" - Metrik
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Metrik: metrischer Raum
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:58 So 01.05.2016
Autor: anil_prim

Aufgabe
Es seien X = [mm] C(K_1(0)) [/mm] und [mm] ||f-g||_n [/mm] := sup_(z [mm] \in K_1-\bruch{1}{n}(0)) [/mm] |f(z) - g(z)| für f, g [mm] \in [/mm] X. Zeiten Sie, dass durch d: X x X [mm] \to [/mm] IR, d(f,g) := [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2^n}\bruch{||f-g||_n}{1+||f-g||_n} [/mm]

Hallo,

wir haben versucht die Axiome
(a) d(p,q)=0 [mm] \gdw [/mm] p=q
(b) d(p,q) = d(q,p)
(c) d(p,q) [mm] \le [/mm] d(p,r) + d(r,q)

versucht anzuwenden. Wir haben jedoch nicht verstanden, wie man dabei die obige Supremums-Definition einbeziehen soll.
Hat jemand eine Idee?

Außerdem hatten wir in der Vorlesung folgendes Beispiel: [mm] d_c(z,w) [/mm] = [mm] \bruch{|z-w|}{1+|z-w|}. [/mm] Bringt uns das was für die Aufgabe?

Viele Grüße,
Anil

        
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Metrik: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:32 So 01.05.2016
Autor: Reynir

Hallo,
was soll [mm] $K_1-\frac{1}{n}(0)$ [/mm] sein?
Viele Grüße,
Reynir

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Bezug
Metrik: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:03 So 01.05.2016
Autor: anil_prim

Dieser Ausdruck bezieht sich auf das Supremum. Was genau das bedeuten, ist uns jedoch auch unklar...




Bezug
                        
Bezug
Metrik: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:36 So 01.05.2016
Autor: Reynir

Vielleicht wäre es hilfreich sich zu überlegen, was das [mm] $K_1$ [/mm] ist.  Ist es eine Kugel mit Radius 1 um den Nullpunkt im [mm] $\mathbb{R}^n$, [/mm] so würde ich den Ausdruck lesen als [mm] $K_1(0)\backslash K_{\frac{1}{n}}(0)$, [/mm] wobei K ein Ball um Null mit Radius [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] wäre. Zu überlegen wäre jetzt sind die K offen oder abgeschlossen?
Viele Grüße,
Reynir

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Metrik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:32 So 01.05.2016
Autor: meister_quitte

Hallo Anil,

setze doch mal f=g. Was ist dan d(f,g)? Ist das erste Axiom dabei erfüllt?


Liebe Grüße

Christoph

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Metrik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:06 So 01.05.2016
Autor: anil_prim

Das haben wir gemacht, hat funktioniert. Wir haben jedoch die Supremumsangabe etc. außer Acht gelassen.

Außerdem fragen wir uns, was X = [mm] C(K_{1}(0)) [/mm] bedeuten soll.

Bezug
                        
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Metrik: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:39 So 01.05.2016
Autor: Reynir

[mm] $C(K_1(0))$ [/mm] steht für den Raum der stetigen Funktionen, die hier Abb. von  [mm] $K_1(0) \rightarrow \mathbb{R}$ [/mm] sind. Allerdings solltet ihr [mm] $K_1(0)$ [/mm] definieren, da das von VL zu VL variiert.
Viele Grüße,
Reynir

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Metrik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:17 So 01.05.2016
Autor: meister_quitte

Ich bin's nochmal.

Folgender Hinweis zu c) mit der Standardmetrik.

d(x,y)=|x-y|

[mm] d(x,z)=|x-y+y-z|$\le$|x-y|+|y-z|=d(x,y)+d(y,z) [/mm] (Dreiecksungleichung)

Liebe Grüße

Christoph

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Metrik: Hinweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:18 So 01.05.2016
Autor: HJKweseleit


> Es seien X = [mm]C(K_1(0))[/mm] und [mm]||f-g||_n[/mm] := sup_(z [mm]\in K_1-\bruch{1}{n}(0))[/mm]
> |f(z) - g(z)| für f, g [mm]\in[/mm] X. Zeiten Sie, dass durch d: X
> x X [mm]\to[/mm] IR, d(f,g) :=
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2^n}\bruch{||f-g||_n}{1+||f-g||_n}[/mm]




Ich vermute, dass mit der Terminologie folgendes gemeint ist:

X = [mm]C(K_1(0))[/mm] ist eine Menge, die aus Funktionen besteht, weil später  f, g [mm]\in[/mm] X steht. Dabei dürfte es sich bei [mm] K_1(0) [/mm] um einen Kreis mit dem Radius 1 um den Punkt 0 handeln.

Leider ist nun nicht angegeben, aus welchem ÄRaum die z stammen. Es könnten reelle oder komplexe Zahlen sein oder Punkte eines höherdimensionalen Raumes.

[mm] K_1-\bruch{1}{n}(0)) [/mm] muss wohl so gelesen werden: [mm] K_{1-\bruch{1}{n}}(0)) [/mm] und ist damit sukzessive

[mm] K_{1-\bruch{1}{1}(0))} [/mm] = {0}
[mm] K_{1-\bruch{1}{2}(0))}=K_\bruch{1}{2}(0)) [/mm]
[mm] K_{1-\bruch{1}{3}(0))}=K_\bruch{2}{3}(0)) [/mm]
[mm] K_{1-\bruch{1}{4}(0))}=K_\bruch{3}{4}(0)) [/mm]
usw.

also ein Kreis um 0, dessen Radius auf 1/2, 2/3, 3/4 usw. wächst.

Ungewöhnlich ist, dass für einen Abstand ein Supremum statt eines Infimums gewählt wird!

Ungewöhnlich ist auch die Schreibweise beim Supremum: Demnach müsste man das Supremum der z nehmen, aber wenn z.B. die Menge der Zahlen aus [mm] \IC [/mm] stammt, gibt es kein größer und kleiner für die z-Werte, da [mm] \IC [/mm] nicht im Sinne von größer und kleiner angeordnet werden kann. Offenbar ist das Supremum der Werte |(f(z)-g(z)| gemeint, wobei die z aus dem beschriebenen Kreis stammen sollen.








>  Hallo,
>  
> wir haben versucht die Axiome
> (a) d(p,q)=0 [mm]\gdw[/mm] p=q
>  (b) d(p,q) = d(q,p)
>  (c) d(p,q) [mm]\le[/mm] d(p,r) + d(r,q)




Das ist nun recht einfach:

(a) Klar ist, dass für p=q für alle z gilt: p(z)-q(z)=0. Damit wird auch jedes Supremum 0 und damit jeder Zähler in der Summe und somit die ganze Summe.
Ist umgekehrt für mindestens ein z aus [mm] K_1(0) [/mm] p(z) [mm] \ne [/mm] q(z), so gibt es einen der Kreise, in dem dieses z liegt, und für das entsprechende n und den weiteren n-s ist das Supremum [mm] \ge|p(z)-q(z)|\ne [/mm] 0. Damit wird auch die Summe >0.

(b) folgt aus der Symmetrie bei der Betragsfunktion |p(z)-q(z)|, (c) aus der Dreiecksungleichung der Betragsfunktion.





>  
> versucht anzuwenden. Wir haben jedoch nicht verstanden, wie
> man dabei die obige Supremums-Definition einbeziehen soll.
>  Hat jemand eine Idee?
>  
> Außerdem hatten wir in der Vorlesung folgendes Beispiel:
> [mm]d_c(z,w)[/mm] = [mm]\bruch{|z-w|}{1+|z-w|}.[/mm] Bringt uns das was für
> die Aufgabe?
>  
> Viele Grüße,
>  Anil


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