Metrik < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:04 Sa 20.01.2018 | | Autor: | Filza |
| Aufgabe | [mm] (\Omega,A,\mu) [/mm] endlicher Maßraum. [mm] M(\Omega,A):= [/mm] {[f]: [mm] f:\Omega->\IR}.
[/mm]
d([f],[g])= [mm] \integral_{\Omega} \bruch{|f-g|}{1+|f-g|} d\mu \forall [/mm] [f],[g] [mm] \in M(\Omega,A) [/mm] |
Man soll zeigen dass d eine Metrik auf [mm] M(\Omega, [/mm] A) ist.
Ansatz:
Positive Definitheit und Symmetrie habe ich gezeigt.
Ich komme nur nicht auf die Dreiecksungleichung.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:53 So 21.01.2018 | | Autor: | fred97 |
Für t [mm] \ge [/mm] 0 sei f(t):= [mm] \frac{t}{1+t}.
[/mm]
Zeige: f ist wachsend (etwa über f' [mm] \ge [/mm] 0).
Seien x,y,z [mm] \in \IR. [/mm] Dann: |x-y| [mm] \le [/mm] |x-z| + |y-z| (Dreiecksungl. für den Betrag), also:
f( |x-y| ) [mm] \le [/mm] f(|x-z| + |y-z|).
Zeige nun Du: f(|x-z| + |y-z|) [mm] \le [/mm] f(|x-z| )+ f(|y-z|).
Fazit:
[mm] \frac{|x-y|}{1+|x-y|} \le \frac{|x-z|}{1+|x-z|}+\frac{|y-z|}{1+|y-z|}.
[/mm]
Das sollte helfen.
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Hiho,
auch wenn freds Lösung sehr elegant ist, geht es hier auch mit "simpler" Termumformung.
Durchmultiplizieren mit den Nennern und streichen gleicher Ausdrücke auf beiden Seiten liefert, dass die Aussage
[mm] $\frac [/mm] {|x-y|}{1+|x-y|} [mm] \le \frac [/mm] {|x-z|}{1+|x-z|} + [mm] \frac [/mm] {|z-y|}{1+|z-y|}$
äquivalent ist zu
$|x-y| [mm] \le [/mm] |x-z| + |z-y| + 2|x-z|* |z-y| + |x-y|* |x-z|*|z-y|$
Was trivialerweise wegen der Dreiecksungleichung erfüllt ist.
Gruß,
Gono
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