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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:36 Di 11.04.2006 | | Autor: | Skydiver |
| Aufgabe | es ist zu zeigen, dass für
a,b [mm] \in \IC^{n} [/mm] und
cos [mm] \alpha [/mm] = [mm] \frac {a^{H}b}{\sqrt{(a^{H}a)(b^{H}b)}}
[/mm]
über d(a,b) = sin [mm] \alpha, \alpha \in [0,\pi]
[/mm]
eine Metrik gegeben ist. |
hiefür habe ich also die Definitheit (d(a,b) = 0 <--> a= b), die Symetrie (d(a,b) = d(b,a)) und die Dreiecksungleichung(d(a,b) <= d(a,c)+d(c,b)) zu zeigen.
Erstes macht mal keine Probleme, ich setzte einfach in sin [mm] \alpha [/mm] = [mm] \sqrt{1-cos^{2}\alpha} [/mm] ein und forme ein wenig um.
Beim zweiten Punkt bin ich genauso vorgegangen, lande dann aber bei [mm] (b^{H}a)^2 [/mm] = [mm] (a^{H}b)^2, [/mm] wo ich nicht weiter komme.
Beim dritten Punkt zeige ich mal, dass [mm] sin(\beta+\gamma) [/mm] <= sin [mm] \beta [/mm] + sin [mm] \gamma [/mm] ist, was möglich ist, da die Winkel nur zwischen 0 und [mm] \pi [/mm] liegen können. [mm] \beta [/mm] und [mm] \gamma [/mm] sind die Winkel zwischen (a,c) und (c,b);
Danach will ich zeigen, dass [mm] \alpha [/mm] = [mm] \beta [/mm] + [mm] \gamma [/mm] gilt, was intuitiv klar erscheint, ich aber nicht beweisen kann.
Hoffe irgendwer kann mir ein wenig weiter helfen,
Vielen Dank für jeden Tipp!
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:55 Mi 12.04.2006 | | Autor: | Skydiver |
zum zweiten Punkt:
bei meiner Rechnung ergibt sich wenn ich d(a,b) = d(b,a) setzte, dass [mm] (a^{H}b)^{2} [/mm] = [mm] (b^{H}a)^{2} [/mm] (das H steht für hermitesch transponiert);
Nun ist ja [mm] b^{H}a [/mm] = [mm] \bar {a^{H}b} [/mm] (der Querstrich sollte konjugiert komplex bedeuten;
[mm] a^{H}b [/mm] ist im allgemeinen irgendeine komplexe Zahl c+jb;
[mm] (c+jb)^{2} [/mm] = [mm] c^{2} [/mm] + 2jcb - [mm] b^{2};
[/mm]
[mm] (\bar {a^{H}b})^{2} [/mm] = [mm] (c-jb)^{2} [/mm] = [mm] c^{2} [/mm] - 2jcb - [mm] b^{2};
[/mm]
das bedeutet dann aber, dass die beiden Terme im allgemeinen nicht gleich sein können, sondern nur wenn es sich bei a und b um reelle Vektoren handelt.
Liege ich dabei richtig, oder habe ich irgendwo einen Fehler??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:01 Mi 12.04.2006 | | Autor: | SEcki |
> das bedeutet dann aber, dass die beiden Terme im
> allgemeinen nicht gleich sein können, sondern nur wenn es
> sich bei a und b um reelle Vektoren handelt.
Nein, nur wenn das hermitische Produkt beider reell ist, also insbesondere wennbeide Vektoren reell sind, aber nicht nur dann. Vielleicht ist ja bei der Definition blos der Realteil des Ausdrucks gemeint? Dann könnte man wieder ein wohldefiniertes [m]\alpha[/m] finden. Ist da irgendwo was in der Aufgabenstellung kapputt gegangen?
SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:26 Mi 12.04.2006 | | Autor: | SEcki |
> Erstes macht mal keine Probleme, ich setzte einfach in sin
> [mm]\alpha[/mm] = [mm]\sqrt{1-cos^{2}\alpha}[/mm] ein und forme ein wenig
> um.
Könntest du das bitte näher ausführen? irgendwie seh ich nicht, warum das eine Metrik sein soll: wenn ich jetzt ein beliebiges a nehme, und dann positive Vielfache davon, dann ist der Winkel [m]\alpha[/m] zwischen denne immer 0 - das verletzt doch die Positivität?!?
Für die Dreicksungleichung des Sinus: prinzipiell ist sie falsch, aber in dne Grenzen ist sie richtig. Falls [m]x+y\ge\pi[/m] ist es klar, falls die Summe kleiner ist: dann betrachte die Funktionen [m]f(x)=sin(x+y), g(x)=sin(y)+sin(x)[/m]. die Ungleichung ist für [m]x=0[/m] erfüllt, jetzt berechne die Ableitungen nach x, und vergleiche diese auf [m]x+y\ge\pi[/m]. du wirst [m]f'\le g'[/m] erhalten - damit solte man doch [m]f\le g[/m] folgern können?!?
Ist obiges vielleicht blos eine Halbmetrik?
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Mi 12.04.2006 | | Autor: | Skydiver |
Erst mal besten Dank für die Antwort!
Stimmt, die Positivität wäre dabei verletzt, wenn es sich um Vektoren aus dem [mm] \IC^{n} [/mm] handeln würde.
Ich hab jedoch einen Fehler in der Angabe:
und zwar handelt es sich bei diesen Vektoren nicht wirklich um Vektoren sondern um eindimensionale Teilräume des [mm] C^{n}, [/mm] die von den Vektoren erzeugt werden, aber eben auch beliebige Vielfache dieser enthalten.
D.h.: T= {U|U Teilraum von [mm] \IC^{n}, [/mm] dim U = 1}
U [mm] \in [/mm] T: U = <a>, a [mm] \in [/mm] V, a [mm] \neq [/mm] 0;
für a,b [mm] \in [/mm] V gilt die Formel für den Cosinus wie in der ersten Angabe gegeben, die Metrik ist jedoch für U1,U2 [mm] \in [/mm] T definiert.
Damit fällt das Problem mit der Positivität/Definitheit wieder weg.
zur Berechnung der Definitheit: ich setzte d(a,b) = 0, also [mm] \sqrt{1-cos^{2} \alpha} [/mm] = 0 [mm] \rightarrow \sqrt{1- \frac{(a^{H}b)^{2}}{(a^{H}a)(b^{H}b)}} [/mm] = 0 [mm] \rightarrow \frac{(a^{H}b)^{2}}{(a^{H}a)(b^{H}b)} [/mm] = 1 [mm] \rightarrow (a^{H}b)^{2} [/mm] = [mm] (a^{H}a)(b^{H}b) \rightarrow (|a_1|^{2}+...+|a_n|^{2})(|b_1|^{2}+...+|b_n|^{2}) [/mm] = [mm] (\bar a_1 b_1+...+ \bar a_n b_n)^{2} \rightarrow a_i [/mm] =[mm] c \cdot b_i[/mm]; [mm] \rightarrow [/mm] <a> = <b> [mm] \rightarrow [/mm] a,b [mm] \in [/mm] U; (die spitzen Klammern stehen für die lineare Hülle).
zum zweiten Punkt: falls in der Angabe kein Fehler vorliegt und anstatt des [mm] \IC^{n} [/mm] der [mm] \IR^{n} [/mm] gemeint war, ist die Symetrie im allgemeinen nicht erfüllbar, oder??
zum dritten Punkt: [mm] \alpha [/mm] kann ja nur zwischen 0 und [mm] \pi [/mm] liegen, laut Definition;
weshalb sollte ich dann die Ableitung für x+y >= [mm] \pi [/mm] berechnen??
Bitte um noch ein paar erläuternde Worte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:50 Do 13.04.2006 | | Autor: | SEcki |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> D.h.: T= {U|U Teilraum von [mm]\IC^{n},[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
dim U = 1}
> U [mm]\in[/mm] T: U = <a>, a [mm]\in[/mm] V, a [mm]\neq[/mm] 0;
> für a,b [mm]\in[/mm] V gilt die Formel für den Cosinus wie in der
> ersten Angabe gegeben, die Metrik ist jedoch für U1,U2 [mm]\in[/mm]
> T definiert.
Das Problem mit der Winkeldefinition bleibt aber - ein reeller Winkel ist so zwingend für mich immer noch nicht da. Fehlt noch was?!?
r weg.
> zur Berechnung der Definitheit:
Hab ich nicht angesehen - aber für sowas solltest du dringend die Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung anschauen!
> zum zweiten Punkt: falls in der Angabe kein Fehler vorliegt
> und anstatt des [mm]\IC^{n}[/mm] der [mm]\IR^{n}[/mm] gemeint war, ist die
> Symetrie im allgemeinen nicht erfüllbar, oder??
So wie es da steht imo nicht - da ist doch nicht mal der Winkel im angegeben Bereich ...
> zum dritten Punkt: [mm]\alpha[/mm] kann ja nur zwischen 0 und [mm]\pi[/mm]
> liegen, laut Definition;
> weshalb sollte ich dann die Ableitung für x+y >= [mm]\pi[/mm]
> berechnen??
Weil die Summe von beiden durchaus größer sein kann?!? Setz doch doch mal mit den Formeln auseinander.
SEcki
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zum dritten Punkt: Dreiecksungleichung
ich bin jetzt folgendermaßen vorgegangen:
[mm] sin(\alpha+\beta) [/mm] = sin [mm] \alpha [/mm] cos [mm] \beta [/mm] + cos [mm] \alpha [/mm] sin [mm] \beta; [/mm]
da der Cosinus zwischen [mm] \pm [/mm] 1 liegt folgt:
[mm] sin(\alpha+\beta) [/mm] = sin [mm] \alpha [/mm] cos [mm] \beta [/mm] + cos [mm] \alpha [/mm] sin [mm] \beta \le [/mm] sin [mm] \alpha [/mm] + sin [mm] \beta
[/mm]
nun hilft mir das bei der Dreiecksungleichung aber noch nicht direkt weiter dabei hätte ich ja zu zeigen:
d(a,b) [mm] \le [/mm] d(a,c) + d(c,b) [mm] \rightarrow [/mm] sin [mm] \alpha \le [/mm] sin [mm] \beta [/mm] + sin [mm] \gamma;
[/mm]
könnte ich jedoch irgendwie zeigen das [mm] \alpha [/mm] = [mm] \beta [/mm] + [mm] \gamma [/mm] oder zumindest kleiner, so wäre die Ungleichung erfüllt.
Leider weiß ich nicht wie ich das anstellen sollte.
Hoffe jemand hat einen Tipp für mich!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 Do 13.04.2006 | | Autor: | SEcki |
> da der Cosinus zwischen [mm]\pm[/mm] 1 liegt folgt:
>
> [mm]sin(\alpha+\beta)[/mm] = sin [mm]\alpha[/mm] cos [mm]\beta[/mm] + cos [mm]\alpha[/mm] sin
> [mm]\beta \le[/mm] sin [mm]\alpha[/mm] + sin [mm]\beta[/mm]
Das ist jetzt nocht dein Ernst, oder? Das klappt für negative Zahlöen hinten und vorne nicht!
> könnte ich jedoch irgendwie zeigen das [mm]\alpha[/mm] = [mm]\beta[/mm] +
> [mm]\gamma[/mm] oder zumindest kleiner, so wäre die Ungleichung
> erfüllt.
Das gilt wohl blos im 2-dim. Im 3-dim, reellen, muss das zB nicht mehr gelten: nimm die drei Einheitsvektoren! Da muss man vielleicht etwas anders ran, hab jetzt aber keine Idee.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:44 Fr 14.04.2006 | | Autor: | Skydiver |
insofern die Winkel [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] nur zwischen 0 und [mm] \pi [/mm] liegen können, wird der Sinus nie negativ, also ist die Ungleichung erfüllt. Aber das steht eigentlich schon in der ersten Angabe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 So 16.04.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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