Metrik < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:43 Do 19.04.2007 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | (X,d) sei metrischer Raum. d' sei X [mm] \times [/mm] X [mm] \to \IR, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto \bruch{1}{d(x,y)}
[/mm]
Zeige, (X,d') ist metrischer Raum. |
Hi,
ich kenne die Axiome für einen metrischen Raum:
1.) d(x,y) [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \forall x,y\inX
[/mm]
2.) d(x,y) = 0 [mm] \gdw [/mm] x=y
3.) d(x,y) = d(y,x) [mm] \forall x,y\inX
[/mm]
4.) d(x,z) [mm] \le [/mm] d(x,y) + d(y,z) [mm] \forall x,y,z\inX
[/mm]
Doch, wie muss ich das jetzt zeigen?
Kann ich davon ausgehen, dass
d(x,y) := [mm] \parallel x-y\parallel [/mm] ? Wenn ja warum? Hilft mir d(x,y) := [mm] \parallel x-y\parallel [/mm] überhaupt weiter?
Danke.
MfG
|
|
| |
|
> (X,d) sei metrischer Raum. d' sei X [mm]\times[/mm] X [mm]\to \IR,[/mm]
> (x,y) [mm]\mapsto \bruch{1}{d(x,y)}[/mm]
>
> Zeige, (X,d') ist metrischer Raum.
> Hi,
>
> ich kenne die Axiome für einen metrischen Raum:
Hallo,
das ist gut, und gut ist auch, daß Du sie hier aufgeschrieben hast.
>
> 1.) d(x,y) [mm]\ge[/mm] 0 [mm]\forall x,y\inX[/mm]
> 2.) d(x,y) = 0 [mm]\gdw[/mm]
> x=y
>
> 3.) d(x,y) = d(y,x) [mm]\forall x,y\inX[/mm]
> 4.) d(x,z) [mm]\le[/mm] d(x,y)
> + d(y,z) [mm]\forall x,y,z\inX[/mm]
Da vorausgesetzt ist, daß (X,d) ein metrischer Raum ist, wissen wir, daß 1.)-4.) für d gelten.
>
> Doch, wie muss ich das jetzt zeigen?
Jetzt würde ja in der Aufgabe eine neue Abbildung d' definiert.
Wenn Du zeigen sollst, daß (X, d') ein metrischer Raum ist,
mußt Du die Gültigkeit von 1.)-4.) für d' nachweisen, also
1.) d'(x,y) [mm]\ge[/mm] 0 [mm]\forall x,y\inX[/mm]
2.) d'(x,y) = 0 [mm]\gdw[/mm] x=y
3.) d'(x,y) = d'(y,x) [mm]\forall x,y\inX[/mm]
4.) d'(x,z) [mm]\le[/mm] d'(x,y) + d'(y,z) [mm]\forall x,y,z\inX[/mm]
Die Abbildung d' wurde ja mithilfe von d definiert. Diese Tatsache und die oben festgestellten Eigenschaften von d wirst Du Dir hierbei zunutze machen.
z.B. in 1.):
Seien [mm] x,y\inX.
[/mm]
d'(x,y)=bruch{1}{d(x,y)}
Und??? Ist das größer als 0 oder kleiner?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Do 19.04.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
danke für die schnelle Antwort.
> z.B. in 1.):
>
> Seien [mm]x,y\inX.[/mm]
>
> d'(x,y)=bruch{1}{d(x,y)}
>
> Und??? Ist das größer als 0 oder kleiner?
>
> Gruß v. Angela
Naja, theoretisch kann ich sagen:
[mm] d'(x,y)=\bruch{1}{d(x,y)} [/mm] > 0, da (X,d) metrischer Raum [mm] \gdw [/mm] d(x,y) > 0 [mm] \forall x,y\in [/mm] X
Aber ist das richtig und vor allem reicht das? ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
MfG
|
|
|
| |
|
>
> Naja, theoretisch kann ich sagen:
>
> [mm]d'(x,y)=\bruch{1}{d(x,y)}[/mm] > 0, da (X,d) metrischer Raum
und somit
>d(x,y) > 0 [mm]\forall x,y\in[/mm] X
>
> Aber ist das richtig und vor allem reicht das?
Ja. Es ist richtig und reicht für 1.)
Nun natürlich noch die anderen.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
