Metrik < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 Fr 28.11.2008 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | Bweisen Sie
[mm] |d(a,b)-d(c,d)|\le [/mm] d(a,c)+d(b,d) |
Hallo,
könnt ihr mir weiterhelfen?
Lösung mittels Dreiecksungleichung:
Es gilt bekanntlich: d(a,b)=|a-b|
-> [mm] |d(a,b)-d(c,d)|=||a-b|-|c-d||\le [/mm] |a-c -b+d| [mm] \le [/mm] a-c -b+d = d(a,c)+d(b,d)
Ich weiß das folgendes richtig ist:
[mm] d(x,y)=|x-y|=|x-z+z-y|\le [/mm] |x-z|+|z-y|
Jetzt habe ich aber "2 von dieser Sorte"...
Bitte um Hilfe! Danke und Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:48 Fr 28.11.2008 | | Autor: | pelzig |
> Bweisen Sie
>
> [mm]|d(a,b)-d(c,d)|\le[/mm] d(a,c)+d(b,d)
>
> Lösung mittels Dreiecksungleichung:
> Es gilt bekanntlich: d(a,b)=|a-b|
Ich glaube nicht, dass in dieser Aufgabe speziell $d(x,y):=|x-y|$ ist, sondern $d$ ist einfach eine (abstrakte) ![[]](/images/popup.gif) Metrik.
Probiers doch mal so [mm] $$d(a,b)-d(c,d)\le(d(a,c)+d(c,b))-d(c,d)=d(a,c)+(d(b,c)-d(c,d))\le [/mm] d(a,c)+d(b,d)$$ Das gilt durch zweimailiges anwenden der allgemeinen Dreiecksungleichung für Metriken.
Aus Symmetriegründen (vertausche a mit c und b mit d) folgt auch [mm] $$-(d(a,b)-d(c,d))\le [/mm] d(a,c)+d(b,d)$$ und damit insgesamt [mm]|d(a,b)-d(c,d)|\le d(a,c)+d(b,d)[/mm]
Gruß, Robert
|
|
|
|
