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| Aufgabe | Sei d eine Metrik auf X (top. Raum).
Beweise, dass [mm] d'(x,y)=\bruch{d(x,y)}{1+d(x,y)} [/mm] eine Metrik auf X ist. |
Hi zusammen!
Ich habe die Aufgabe oben zu lösen und soweit ist mir auch alles klar (spich was ich zu zeigen habe :)) Aber bei der Deiecksungleichung haperts noch etwas. Ich komme einfach nicht drauf, wie ich den Nenner "passend" kriege. Also
[mm] d'(x,z)=\bruch{d(x,z)}{1+d(x,z)} \le \bruch{d(x,y)+d(y,z)}{1+d(x,z)}=\bruch{d(x,y)}{1+d(x,z)}+\bruch{d(y,z)}{1+d(x,z)}
[/mm]
Nun stecke ich fest. Hat jemand einen kleinen Tipp?
Vielen lieben Dank Ersti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:13 Mi 11.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. solltest du die Beh. die du beweisen willst erstmal hinschreiben, damit du dein Ziel siehst.
2. sollte dir klar sein, dass man die Ungleichung fuer d selbst benutzen muss.
Gruss leduart
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Danke für die schnelle Antwort!
Also, z.z. d'(x,z) [mm] \le [/mm] d'(x,y)+d'(y,z)
mit der Definition von d'
[mm] \bruch{d(x,z)}{1+d(x,z)} \le \bruch{d(x,y)}{1+d(x,y)}+\bruch{d(y,z)}{1+d(y,z)} [/mm] nicht?
Nun mit meiner obigen Umformung bin ich ja bei
[mm] \bruch{d(x,z)}{1+d(x,z)} \le \bruch{d(x,y)}{1+d(x,z)}+\bruch{d(y,z)}{1+d(x,z)}
[/mm]
Meine Überlegung war nun die Nenner abzuschätzen. Aber mit der Dreiecksungleichung für d komme ich da nicht weiter, oder?
Deinen 2.Tipp versteh ich leider nicht ganz.. Es ist mir schon klar, dass ich mit damit argumentieren soll, dass d eine Metrik ist und dafür die Dreiecksungleichung gilt, aber eben das hilft mir da nicht wirklich weiter.. Oder ich sehs nicht.
Vielen Dank für deine Mühe! Ersti
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:13 Mi 11.03.2009 | | Autor: | luis52 |
Moinm
> Also, z.z. d'(x,z) [mm]\le[/mm] d'(x,y)+d'(y,z)
> mit der Definition von d'
> [mm]\bruch{d(x,z)}{1+d(x,z)} \le \bruch{d(x,y)}{1+d(x,y)}+\bruch{d(y,z)}{1+d(y,z)}[/mm]
> nicht?
Ja.
Um einen Notationsoverkill zu vermeiden schreibe mal
$a=d(x,z)$, $b=d(x,y)$ $c=d(y,z)$. Die Ungleichung lautet dann:
$ [mm] \bruch{a}{1+a} \le \bruch{b}{1+b}+\bruch{c}{1+c}$.
[/mm]
Bring das mal auf einen gemeinsamen Nenner und vereinfache. Ich meine, dann sieht man etwas...
vg Luis
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DANKE!
Hat funktioniert =)
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