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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:53 Mi 04.05.2005 | | Autor: | sachmeth |
Hallo, brauch dringend eure Hilfe bei folgender Aufgabe.
Zum ersten Teil habe ich eine noch etwas lückenhafte Lösung, beim 2 Teil weiß ich leider gar nicht, wie ich anfangen soll. Bitte helft mir!!!
R... reele Zahlen
Sei G: R → R global Lipschitzstetig.d.h. es existiert eine Konsatante C > 0 oder C=0 mit | G(x)-G(y)| L* | x-y| für alle x,y,aus R . Sei b eine positive feste Zahl.
Zeige das für jedes feste s > 0
[mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel [/mm] (max,s) := sup{|f(x)|e^(-s*x) : x ε [0,b]} eine Norm auf C([0,b]) ist .
Zeige das [mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel [/mm] (max,s) äquivalent zu [mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel [/mm] (max) ist.
Das in Klammern angegebene nach der Norm ist Index der Norm, weiß nicht wie ich das anders aufschreiben könnte -sorry.
Hier nun meine Lösung:
Als Norm müssen 3 Eigenschaften erfüllt sein
i) die Norm muss positiv oder gleich Null im Fall x=0 sein.
[mm] ii) \parallel [/mm] f *c [mm] \parallel [/mm] (max,s)= [mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel [/mm] (max,s) * ׀c׀
iii) Die Dreiecksungleichung muss erfüllt sein
iv) das [mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel [/mm] (max,s) äquivalent [mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel [/mm] (max)
[mm] i) \parallel [/mm] f [mm] \parallel [/mm] (max,s)> 0 da e^(-s*x) eine Konstante ist die Werte zwischen 0 (für x=0) und e^(-s*b) annimmt, also immer positiv ist; somit bliebt nur noch sup {|f(x)} , das natürlich auch positiv ist, da der Betraf von f(x) pos.
Im Fall x=0 ist [mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel [/mm] (max,s) =sup {|f(0)|*1}= 0
[mm] ii) \parallel [/mm] f c [mm] \parallel [/mm] (max,s)= sup{|f(x)|e^(-s*x) *c]}= da c eine feste Konstante ist sup{|f(x)|e^(-s*x) }* ׀c׀ = [mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel [/mm] (max,s) * ׀c׀
iii) weiß ich nicht wie man zeigen kann :((
iv) Die Normen sind äquivalent zueinander, da [mm] \parallel [/mm] f. [mm] \parallel [/mm] (max) * eine feste Konstante s = [mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel [/mm] (max,s). Diese Konstante lässt e^(-s*x) einen festen wert zwischen 1 und e^(-s*b) annehmen, je nachdem wie groß x ist.
Sei k ε R fest. Zeige das die Abbildung T: C([0,b])→C([0,b]) für ein geeignetes s eine Kontraktion auf C ([0,b]) zgl der Norm (max,s) ist.
(Tf)(x):= k+ ∫ G(f(y)dy (Das Integral verläuft von 0 bis x)
Zeige außerdem das f einen eindeutigen Fixpunkt F hat , das F differentierbar ist und Lösung des folgenden Anfangswertproblems:
f (y)= G(f(y)) für y aus [0,b]
f(0)=k.
Ich weiß das ich irgendwie zeigen müsste, dass d(f(x),f(y)) < c*d(x,y) für c<1 und x,y aus R, hab aber keine Ahnung wie ich es auf dieses Bsp. Übertragen soll.
Vielen Dank das ihr eure Köpfe für mich rauchen laßt!!!
P.s: Habe diese Frage auf keinem anderen Forum gestellt
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Hallo!
Sag doch gleich, dass du den Satz von Picard-Lindelöf mittels des Banchschen Fixpunktsatzes zeigen sollst!  Außerdem wäre es gut, wenn du dich ein wenig mit dem Formeleditor beschäftigen würdest, dass würde deine Fragen etwas lesbarer machen...
Die erste Frage hast du ja schon ganz gut bearbeitet. Ein paar Dinge sind allerdings noch ein wenig schief:
zu (i): Die Norm muss positiv definit sein, aber [mm] $\|f\|_{\infty,s}=0$ [/mm] genau dann, wenn $f=0$, also $f$ gleich der Nullfunktion ist. Das setzt sich dann so ähnlich auch in (iv) fort.
zu (iii): Du musst zwei Funktionen $f$ und $g$ wählen und [mm] $\|f+g\|_{\infty,s}$ [/mm] betrachten!
Jetzt zu deiner Funktion $T$:
Du musst zeigen, dass für zwei Funktionen $f,g$ [mm] $\|T(f)-T(g)\|_{\infty,s}\le c\|f-g\|_{\infty,s}$ [/mm] für geeignetes $s,c$.
Hast du denn schon einen Ansatz?
Gruß, banachella
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 20:21 Mi 04.05.2005 | | Autor: | sachmeth |
Hallöle
Vielen Dank erst mal für deine schnelle Antwort- das bringt mich aber leider nicht wirklich viel weiter. Ich weiß zwar wie die Dreiecksgleichung hier aussehen muss, kann sie aber nicht beweisen. Wie mach ich das konkret?
Zu Teil 2: Auch hier bräucht ich bitte genauere Hinweise, auf die zu zeigende Gleichung bin ich zwar auch schon gekommen, weiß aber leider auch hier nicht wie ich es zeigen soll.
Vielen Dank schon mal!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:30 So 08.05.2005 | | Autor: | matux |
Hallo Sachmeth!
Wir bedauern, dass Deine Frage nicht in der von dir eingestellten Fälligkeitszeit beantwortet wurde.
Der wahrscheinlichste Grund dafür ist, dass ganz einfach niemand, der dir hätte helfen können, im Fälligkeitszeitraum online war. Bitte bedenke, dass jede Hilfe hier freiwillig und ehrenamtlich gegeben wird.
Wie angekündigt gehen wir nun davon aus, dass du an einer Antwort nicht mehr interessiert bist. Die Frage taucht deswegen nicht mehr in der Liste der offenen Fragen, sondern nur noch in der Liste der Fragen für Interessierte auf.
Falls du weiterhin an einer Antwort interessiert bist, stelle einfach eine weitere Frage in dieser Diskussion.
Wir wünschen dir beim nächsten Mal mehr Erfolg! ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]")
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
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