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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:44 So 15.05.2005 | | Autor: | Samoth |
Hallo Matheraum,
Ich habe mal wieder ein Problem, das sich nicht von mir lösen lassen will.
Sei V der Raum aller reellen Zahlenfolgen [mm]( x_{k})_{k=1}^{\infty}, \quad
d(x,y) = \summe_{k=1}^{\infty} 2^{-k} \bruch{| x_{k} - y_{k}|}{1+| x_{k} - y_{k}|} [/mm]
c) Zeigen Sie, dass für [mm] x^{(n)} \in V [/mm] komponentenweise Konvergenz [mm] x^{(n)} \to x \in V [/mm] genau dann vorliegt, wenn [mm] d(x^{(n)}, x) \to 0 [/mm] gilt.
Wenn man sich das so anguckt ist es ja klar..jedoch habe ich keine Ahnung wie/wo man da ansetzt, um das zu zeigen.
Könntet ihr mir hier behilflich sein?
Ich wäre für jeden Tip dankbar.
Viele Grüße,
Samoth
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Hallo Samoth!
Hast du dir schon was dazu überlegt? Poste doch mal deine Ansätze!
Überleg dir mal, was passiert, wenn es eine [mm] $\delta>0$ [/mm] gibt, so dass für eine Komponente [mm] $|x_k^{(n)}-x_k|>\delta$ [/mm] für alle $n$! Dann ist [mm] $d(x^{(n)};x>\bruch{\delta}{2^k}$!
[/mm]
Und für die Rückrichtung? Versuch, die Partialsummen klein zu kriegen... Da die Reihe in jedem Fall konvergiert, kann man den hinteren Teil sowieso klein kriegen...
Hilft dir das auf die Sprünge?
Gruß, banachella
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