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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:26 Di 19.10.2010 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | | Sei M eine Menge. Man zeige: auf der Menge [mm] ABB(M,\IR) [/mm] ist [mm] d(f,g):=sup_{x\in M} \frac{|f(x)-g(x)|}{1+|f(x)-g(x)|} [/mm] ist eine Metrik. |
Hallo,
also wieder das übliche.
i)d(f,g)=0 [mm] \gdw [/mm] f=g
ii)d(f,g)=d(g,f)
iii)d(f,g) [mm] \le [/mm] d(f,z)+d(z,g)
zu ii)
[mm] d(f,g)=\frac{|f(x)-g(x)|}{1+|f(x)-g(x)|} =\frac{|g(x)-f(x)|}{1+|g(x)-f(x)|} [/mm] =d(g,f)
zu iii)
[mm] d(f,g)=\frac{|f(x)-g(x)|}{1+|f(x)-g(x)|} [/mm] = [mm] |\frac{|f(x)-z(x)|}{1+|f(x)-z(x)|}+\frac{|z(x)-g(x)|}{1+|z(x)-g(x)|}| \le \frac{|f(x)-z(x)|}{1+|f(x)-z(x)|}+\frac{|z(x)-g(x)|}{1+|z(x)-g(x)|}=d(f,z)+d(z,g)
[/mm]
Kann man das so lassen?
Gruß
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Hallo Bodo0686,
> Sei M eine Menge. Man zeige: auf der Menge [mm]ABB(M,\IR)[/mm] ist
> [mm]d(f,g):=sup_{x\in M} \frac{|f(x)-g(x)|}{1+|f(x)-g(x)|}[/mm] ist
> eine Metrik.
>
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> Hallo,
>
> also wieder das übliche.
>
> i)d(f,g)=0 [mm]\gdw[/mm] f=g
> ii)d(f,g)=d(g,f)
> iii)d(f,g) [mm]\le[/mm] d(f,z)+d(z,g)
>
> zu ii)
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> [mm]d(f,g)=\frac{|f(x)-g(x)|}{1+|f(x)-g(x)|} =\frac{|g(x)-f(x)|}{1+|g(x)-f(x)|}[/mm]
> =d(g,f)
>
> zu iii)
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> [mm]d(f,g)=\frac{|f(x)-g(x)|}{1+|f(x)-g(x)|}[/mm] =
> [mm]|\frac{|f(x)-z(x)|}{1+|f(x)-z(x)|}+\frac{|z(x)-g(x)|}{1+|z(x)-g(x)|}| \le \frac{|f(x)-z(x)|}{1+|f(x)-z(x)|}+\frac{|z(x)-g(x)|}{1+|z(x)-g(x)|}=d(f,z)+d(z,g)[/mm]
>
> Kann man das so lassen?
Nein.
Es ist
[mm]|\frac{|f(x)-z(x)|}{1+|f(x)-z(x)|}+\frac{|z(x)-g(x)|}{1+|z(x)-g(x)|}| = \frac{|f(x)-z(x)|}{1+|f(x)-z(x)|}+\frac{|z(x)-g(x)|}{1+|z(x)-g(x)|}[/mm]
Damit steht da:
[mm]d(f,g)=\frac{|f(x)-g(x)|}{1+|f(x)-g(x)|} = ... \le \frac{|f(x)-z(x)|}{1+|f(x)-z(x)|}+\frac{|z(x)-g(x)|}{1+|z(x)-g(x)|}=d(f,z)+d(z,g)[/mm]
Es fehlen also noch ein paar Zwischenschritte.
Beginne so:
[mm]d(f,g)=\frac{|f(x)-g(x)|}{1+|f(x)-g(x)|}=\frac{|f(x)-z(x)+z(x)-g(x)|}{1+|f(x)-z(x)+z(x)-g(x)|} \le \frac{|f(x)-z(x)|+|z(x)-g(x)|}{1+|f(x)-z(x)+z(x)-g(x)|}[/mm]
Führe nun die Ungleichungskette weiter, bis zu dem Resultat
[mm]\le \frac{|f(x)-z(x)|}{1+|f(x)-z(x)|}+\frac{|z(x)-g(x)|}{1+|z(x)-g(x)|}=d(f,z)+d(z,g)[/mm]
kommst.
>
>
> Gruß
Gruss
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