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| Aufgabe | Sei (E,d) ein beliebiger Metrischer Raum un M [mm] \subset [/mm] E eine Teilmenge.Zeigen sie das gilt:
a) M ist genau dann abgeschlossen, wenn für jede konvergente Folge [mm] (x_{n})_{n}\subset [/mm] M mit Limes x [mm] \in [/mm] E gilt das x [mm] \in [/mm] M.
b)Ist M kompakt so ist Mbeschränkt und abgeschlossen. |
Hallon ihr lieben,
ich sitze gerade an meinem Übungsblatt und habe schon das meiste, aber bei der oben genannten Aufgabe verstehe ich einfach nur Bahnhof...Könntet ihr mir bitte weiter helfen, denn ich finde nicht mal einen Ansatz dafür...
Vielen Danke schon mal.....
Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:35 So 09.01.2011 | | Autor: | willy89 |
Es wäre interessant zu wissen, wie ihr Abgeschlossenheit und Kompaktheit definiert habt.
Viele verwenden Obige Eigenschaften als Definition...
Grüße
willy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:19 So 09.01.2011 | | Autor: | maikel |
Kompakt folgt nicht aus beschränkt und abgeschlossen. Siehe dazu die Sphäre eines beliebigen unendlich dimensionalen Banachraumes.
Umgekehrt gilt die Implikation aber durchaus. Darum ist es hier eindeutig, was gefragt ist.
Desweiteren habe ich einfach mal folgende Definition angenommen:
$M$ ist abgeschlossen, falls für alle $x [mm] \in [/mm] E$ gilt, dass, wenn alle Umgebungen $U$ von $x$ (bzw. Bälle um $x$) nicht-leeren Schnitt mit $M$ haben, so ist $x [mm] \in [/mm] M$.
Liebe Grüße, Maikel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:59 So 09.01.2011 | | Autor: | maikel |
zu (a):
Angenommen es gibt eine konvergente Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] dessen Grenzwert $x$ nicht in $M$ liegt. Dann führe dies zum Widerspruch, indem du für jeden [mm] $\varepsilon$-Ball [/mm] um $x$ ein Element aus $M$ findest (welches wohl?). Das heißt jede Umgebung von $x$ besitzt nicht leeren Schnitt mit $M$... Den Rest darfst du weiter spinnen... 
zu (b):
Es gilt
(i) $M$ ist kompakt
impliziert
(ii) $M$ ist vollständig und besitzt ein endliches [mm] $\varepsilon$-Netz. [/mm] (M ist totalbeschränkt)
Siehe dazu den Satz von Hausdorff. (google)
Epsilon Netz:
Zunächst folgt man aus der Kompaktheit, das $M$ folgenkompakt ist. Dann kann man annehmen $M$ wäre nicht totalbeschränkt, (also es existiert ein epsilon > 0, so dass kein endliches Netz existiert). Dann kann man rekursiv eine Folge definieren und einen Widerspruch herbeirufen.
Vollständig:
Jede Cauchyfolge besitzt eine konvergente Teilfolge, weil jede Folge eine besitzt. CFen konvergieren dann gegen diesen Wert (Beweis gefordert, epsilon-halbe Argument).
HTH, Maikel
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