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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:31 So 01.12.2013 | | Autor: | riju |
| Aufgabe | Die Funktion d:X x X -> R; erfülle für beliebige x,y,z ∈ X (X ungleich leere Menge) die Bedingungen
a) d(x,y) = 0 <-> x = y
b) d(x,y) ≤ d(x,z) + d(y,z)
Beweise, dass d eine Metrik ist. |
Muss ich jetzt nur noch die Symmetrie (d(x,y)=d(y,x)) beweisen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:36 So 01.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja und [mm] d(x,y)\ge [/mm] 0
Gru0 leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Mo 02.12.2013 | | Autor: | riju |
Also ich habe jetzt für die Symmetrie folgendes:
d(x,y) ≤ d(x,z)+d(y,z)
Setze z = x, dann folgt d(x,y) ≤ d(x,x)+d(y,x)
Aufgrund der Bedingung a) gilt d(x,x) = 0
Also gilt d(x,y) ≤ d(y,x)
Analog für z = y:
d(y,x) ≤ d(y,y)+d(x,y)
Aufgrund der Bedingung a) gilt d(y,y) = 0
Also gilt d(y,x) ≤ d(x,y)
Da d(x,y) ≤ d(y,x) und d(y,x) ≤ d(x,y) , gilt d(x,y) = d(y,x)
Ist das richtig?
Wie beweis ich d(x,y)≥0?
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Hi,
betrachte noch einmal die Dreiecksungleichung.
Es ist [mm] 0=d(x,y)\le [/mm] d(x,z)+d(z,y)
Ersetze nun [mm] $y\to [/mm] x$. Nutze Symmetrieeigenschaft. Dann steht es schon da.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 Mo 02.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
Widerspruchsbeweis. nimm an es gibt ein d(xy)<0 dann folgt mit Dreiecksungleichung d(x,x)<......
Gruß leduart
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