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| Aufgabe | | Sei [mm] x= \vektor{x_1 \\ ... \\ x_n}, y= \vektor{y_1 \\ ... \\ y_n}, ||x||:= \wurzel{x_1^2+...+x_n^2} [/mm]. Zeigen Sie, dass [mm] d(x,y):=||x-y|| [/mm] eine Metrik. |
Hallo!
Hierfür muss man ja "nur" zeigen, dass d(x,y) positiv definit, symmetrisch ist und die Dreiecksungleichung [mm] ||x-y|| \le ||x-z||+||z-y|| [/mm] gilt.
Die ersten beiden sind einfach, nur beim letzten holper ich irgendwie und mir fehlt die zündende Idee.
Meine Idee war [mm] ||x-y||^2 = ||x-z+z-y||^2 = (x_1-z_1+z_1-y_1)^2+...+(x_n-z_n+z_n-y_n)^2 [/mm].
Und das irgendwie abzuschätzen, aber da komme ich nicht weiter.
Kann mir jemand einen Tipp geben?
Das wäre super!
Liebe Grüße,
Lily
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Hiho,
> Die ersten beiden sind einfach, nur beim letzten holper
> ich irgendwie und mir fehlt die zündende Idee.
na was ist denn [mm] $||\cdot||$?
[/mm]
Was gilt dafür? Und dann: $x-y = x-z + z-y$
Gruß,
Gono
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Hallo Gono, danke für deine schnelle Antwort!
Aber genau das hab ich mir ja überlegt und damit kam ich noch nicht weiter... :-/
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Hiho,
> Aber genau das hab ich mir ja überlegt und damit kam ich noch nicht weiter... :-/
nein, du hast ja auch meine Frage nicht beantwortet: Was für ein mathemtisches Objekt ist denn [mm] $||\cdot||$ [/mm] ? Welche Eigenschaften haben diese Objekte?
Gruß,
Gono
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Achso, sorry!
||.|| ist eine Norm, für die Positive Definitheit, Homogenität und die Dreiecksungleichung gilt. Und dann kann man natürlich machen:
[mm] ||x-y||= ||x-z+z-y|| \le ||x-z|| + ||z-y|| [/mm]
Ist das wirklich so einfach? Ich dachte, man müsse das grundlegender zeigen!
Liebe Grüße, Lily
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Hiho,
> Achso, sorry!
> ||.|| ist eine Norm, für die Positive Definitheit, Homogenität und die Dreiecksungleichung gilt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und dann kann man natürlich machen:
> [mm]||x-y||= ||x-z+z-y|| \le ||x-z|| + ||z-y||[/mm]
> Ist das wirklich so einfach? Ich dachte, man müsse das grundlegender zeigen!
na hast du die Dreiecksungleichung für die Metrik nun gezeigt, oder nicht?
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:56 Di 21.06.2016 | | Autor: | Mathe-Lily |
Das stimmt ^^
Danke!
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